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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | $ X $ sei ein topologischer Raum, $ [mm] \sim [/mm] $ eine Äquivalenzrelation. (O) bezeichne folgende Bedingung:
(O): $ O [mm] \subset [/mm] X $ offen $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] \{x \in X\, \vert\, \exists y \in O \, : \, x \sim y\} [/mm] $ offen in $ X $.
Beweisen Sie:
(a) Die kanonische Projektion $ [mm] \pi:X \to X/\sim [/mm] $ ist dann und nur dann offen, wenn (O) gilt.
(b) Es gelte (O). Sei $ A [mm] \subset [/mm] X $ abgeschlossen bezüglich der Relation $ [mm] \sim [/mm] $, d.h. $ x [mm] \sim a,\, [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A $. Sei $ [mm] \dot{\sim} [/mm] $ die auf $ A $ eingeschränkte Relation $ [mm] \sim [/mm] $. Dann ist $ [mm] A/\dot{\sim} [/mm] $, versehen mit der Identifizierungstopologie, in natürlicher Weise homöomorph zu dem Unterraum $ [mm] \pi(A) [/mm] $ von $ [mm] X/\sim [/mm] $.
(c) Dass die Aussage (b) ohne die Voraussetzung (O) nicht gelten muss, zeigt das folgende Beispiel: Sei $ [mm] X=S^1=\{e^{it}\, \vert\, t \in \IR\} [/mm] $ und $ [mm] A=\{e^{2\pi ik/n}\, \vert \, k,\, n=1,2,\ldots\} [/mm] $. Es sei
"$ x [mm] \sim [/mm] y [mm] \quad [/mm] : [mm] \Leftrightarrow \quad [/mm] $ $ x $ und $ y $ haben die gleiche endliche Ordnung in der multiplikativen Gruppe $ [mm] S^1 [/mm] $".
Beschreiben Sie den Quotientenraum $ [mm] S^1/\sim [/mm] $ und die Identifizierungsabbildung $ [mm] p:S^1 \to S^1/\sim [/mm] $, bestimmen Sie die Topologie des Unterraumes $ p(A) $ von $ [mm] S^1/\sim [/mm] $, schränken Sie die Relation $ [mm] \sim [/mm] $ auf $ A $ ein, und beschreiben Sie den zugehörigen Quotientenraum. |
Hallo!
Es geht um Aufgabe (c), mit der sich Stefan und ich bereits im Mathematik-Trainings-Forum auseinander gesetzt haben.
Folgende Überlegungen haben wir bereits angestellt:
Die in (c) gegebene Relation ist keine Äquivalenzrelation. Es bieten sich zwei Möglichkeiten, sie zu einer solchen zu machen:
1.) [mm] $X\setminus [/mm] A$ ist eine Äquivalenzklasse, d.h. die Elemente unendlicher Ordnung, sprich die Elemente von [mm] $\{e^{2\pi i t}| t\in [0,1]\setminus\IQ\}$ [/mm] liegen in einer Äquivalenzklasse. Dies entspricht der Formulierung: [mm] $x\sim y\quad:\gdw\quad [/mm] x$ und $y$ haben die gleiche (nicht notwendiger Weise endliche) Ordnung in der multiplikativen Gruppe [mm] $S^1$.
[/mm]
2.) Es ist [mm] $x\sim y\quad:\gdw [/mm] x=y$ oder $x$ und $y$ haben die gleiche endliche Ordnung in der multiplikativen Gruppe [mm] $S^1$. [/mm]
In Fall 1 gilt allerdings immernoch die Bedingung (O).
In Fall 2 gilt (O) zwar nicht, aber die Nicht-Homöomorphie konnten wir trotzdem nicht zeigen.
Haben wir uns geirrt, ist die Aufgabe anders zu verstehen oder ist sie schlichtweg falsch, sprich nicht lösbar bzw. zu einer lösbaren Aufgabe abwandelbar?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 01.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Könnte es sein, dass es nur darum geht zu zeigen, dass sie kanonische Projektion in diesme Fall kein Homöomarphismus ist?
mfG Moudi
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Hallo zusammen,
Euer Fall 2 scheint mir nicht sinnvoll als Abwandlung der Aufgabenstellung.
''Natuerlich'' hiesse dann ja, dass (mit der -sorry- abgewandelten Notation
[mm] \sim_A :=\sim \cap (\A\times [/mm] A) )
[mm] A\slash \sim_A [/mm] homeomorph zu p(A)= [mm] \{ [a] | a\in A\} \subseteq S^1\slash\sim
[/mm]
sein muesste mit der Abbildung [mm] [a]_{\sim_A} \mapso [a]\slash_{\sim},
[/mm]
- und dies gilt auch !!!
Fall 1: sieht besser aus, meiner Ansicht nach ist (O) gerade nicht erfuellt:
Es ist fuer ein offenes Intervall [mm] I=(e^{it},e^{iT}) [/mm] mit t<T [mm] \{x|\exists y\in I mit x\sim y\}=I\cup \{e^{ir}|r\in [0,1]\setminus\IQ\} [/mm] nicht offen, und dies sollte das gewuenschte
Gegenbeispiel liefern.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mathias!
Vielen Dank für deine Antwort, aber sie erschließt sich mir nicht (vielleicht kann ja auch Hanno noch was dazu schreiben).
> Fall 1: sieht besser aus, meiner Ansicht nach ist (O)
> gerade nicht erfuellt:
>
> Es ist fuer ein offenes Intervall [mm]I=(e^{it},e^{iT})[/mm] mit
> t<T [mm]\{x|\exists y\in I mit x\sim y\}=I\cup \{e^{ir}|r\in [0,1]\setminus\IQ\}[/mm]
> nicht offen, und dies sollte das gewuenschte
> Gegenbeispiel liefern.
Für mich liegen da viel mehr Elemente in der Menge; eben zusätzlich noch alle bis auf endlich viele komplexe Wurzeln. Oder habe ich gerade Tomaten auf den Augen? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Mathias, hallo Stefan!
> > Fall 1: sieht besser aus, meiner Ansicht nach ist (O)
> gerade nicht erfuellt:
>
> Es ist fuer ein offenes Intervall $ [mm] I=(e^{it},e^{iT}) [/mm] $ mit
> t<T $ [mm] \{x|\exists y\in I mit x\sim y\}=I\cup \{e^{ir}|r\in [0,1]\setminus\IQ\} [/mm] $
> nicht offen, und dies sollte das gewuenschte
> Gegenbeispiel liefern.
> Für mich liegen da viel mehr Elemente in der Menge; eben zusätzlich noch alle bis auf endlich viele komplexe Wurzeln. Oder habe ich gerade Tomaten auf den Augen?
Das sehe ich auch so. Von den Äquivalenzklassen [mm] $[n]:=\{e^{2\pi i\frac{r}{n}}|(r,n)=1\}$ [/mm] enthält jedes offene Intervall fast alle. Ferner enthält letzteres auch irrationale Zahlen, sodass das Bild unter [mm] $\pi^{-1}\circ\pi$ [/mm] genau der Einheitskreis ohne die (endliche!) Vereinigung der fehlenden Äquivalenzklassen ist - diese Menge ist aber immernoch offen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Di 03.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo zusammen
Ich habe mich auch mal etwas intensiver mit der Aufgabe beschäftigt.
Egal, wie man die Aequivalenzrelation ausserhalb A definiert, die Inklusionsabbildung [mm] $\tilde i:A/\sim\to X/\sim$ [/mm] ist immer ein Homöomorphismus.
Denn
1. [mm] $\tilde [/mm] i$ ist sicher stetig, folgt aus der "universellen Eigenschaft" der verschiedenen Inklusions- und Projektionsabbildungen.
2. Wählt man die Aequivalenrelation so wie in i), dann ist die in [mm] $X/\sim$ [/mm] ezeugte Topologie sicher gröber, als jede durch eine andere Aequivalenzrelation(die auf A natürlich mit der gegebenen übereinstimmen muss) erzeugte Topologie. In diesem Fall ist aber nach dem schon gesagten die Projektion von [mm] $X\to X/\sim$ [/mm] eine offene Abbildung und [mm] $\tilde [/mm] i$ ein Homöomorphismus, und damit ist [mm] $\tilde [/mm] i$ eine offene Abbildung. Wenn [mm] $\tilde [/mm] i$ aber eine offene Abbildung in die "gröbste" Topologie ist, dann bleibt sie offen, wenn im Bildraum die Topologie verfeinert wird.
1. und 2. sagen aber, dass [mm] $\tilde [/mm] i$ ein Homöomorphismus ist.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Do 05.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo moudi!
Vielen Dank für deine Antwort! 
> 1. [mm]\tilde i[/mm] ist sicher stetig, folgt aus der "universellen
> Eigenschaft" der verschiedenen Inklusions- und
> Projektionsabbildungen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Wählt man die Aequivalenrelation so wie in i), dann ist
> die in [mm]X/\sim[/mm] ezeugte Topologie sicher gröber, als jede
> durch eine andere Aequivalenzrelation(die auf A natürlich
> mit der gegebenen übereinstimmen muss) erzeugte Topologie.
> In diesem Fall ist aber nach dem schon gesagten die
> Projektion von [mm]X\to X/\sim[/mm] eine offene Abbildung und [mm]\tilde i[/mm]
> ein Homöomorphismus,
Das ist mir, ehrlich gesagt, nach wie vor nicht hundertprozentig klar, intuitiv aber schon und ich glaube es jetzt mal.
Ach so, doch, das war ja völlig klar, sorry...
> und damit ist [mm]\tilde i[/mm] eine offene
> Abbildung. Wenn [mm]\tilde i[/mm] aber eine offene Abbildung in die
> "gröbste" Topologie ist, dann bleibt sie offen, wenn im
> Bildraum die Topologie verfeinert wird.
, das ist dann klar
Hast du denn eine Ahnung, was die Aufgabe im Querenburg dann bezwecken soll?
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 05.01.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo Hanno und Stefan!
Ich denke, daß der Autor
> 2.) Es ist [mm]x\sim y\quad:\gdw x=y[/mm] oder [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] haben die gleiche endliche Ordnung in der multiplikativen Gruppe [mm]S^1[/mm].
meinte.
> [mm]A=\{e^{2\pi ik/n}\, \vert \, k,\, n=1,2,\ldots\} [/mm]
> ist die Aufgabe anders zu verstehen oder ist sie schlichtweg falsch, sprich nicht lösbar bzw. zu einer lösbaren Aufgabe abwandelbar?
Wie wäre es mit [mm]A=\red{X\setminus}\{e^{2\pi ik/n}\, \vert \, k,\, n=1,2,\ldots\}[/mm]? Ein Auslassungsfehler kommt schließlich selten allein...
Grüße, Galois
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