Quotientenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 Do 05.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
| Aufgabe | | Leiten Sie ab: [mm] h(x)= \bruch{8}{(5 - 4x)^2} [/mm] |
Ich habe diese Aufgabe folgender Maßen (mit der Quotintenregel) abgeleitet:
[mm]h'(x)=\bruch{(5 - 4x)^2 - (-4x)^2 * 8}{(5 - 4x)^4}[/mm]
Mit der binomischen Formel aufgelöst:
[mm]h'(x)=\bruch{25 - 40x - 16x^2 - 16x^2 * 8}{(5 - 4x)^4}[/mm]
[mm]h'(x)=\bruch{25 - 40x - 16x^2 - 128x^2}{(5 - 4x)^4}[/mm]
[mm]h'(x)=\bruch{25 - 40x - 144x^2}{(5 - 4x)^4}[/mm]
"x" ausklammern:
[mm]h'(x)=\bruch{x(25 - 40 - 144x)}{(5 - 4x)^4}[/mm]
gekürzt:
[mm]h'(x)=\bruch{-15 - 144x}{(5 - 4x)^3}[/mm]
So sieht auch mein Endergebnis aus..
Doch im Buch lautet die Lösung dieser Aufgabe:
[mm]h'(x)=\bruch{64}{(5 - 4x)^3}[/mm]
Wenn mir jemand bitte erklären könnte was ich falsch gemacht habe, wäre ich ihm sehr dankbar..
|
|
| |
|
[mm] \mbox{Hallo,}
[/mm]
[mm] \mbox{Du hast mehrere Fehler gemacht:}
[/mm]
[mm] \mbox{1.) Die Quotientenregel lautet: } $\left(\bruch{u}{v}\right)'=\bruch{u'*v-u*v'}{v^2}$
[/mm]
[mm] \mbox{Wenn:}
[/mm]
$u:=8 [mm] \Rightarrow [/mm] u':=0$
[mm] $v:=(5-4x)^2 \Rightarrow [/mm] $ [mm] \mbox{ und hier musst du die } [/mm] Kettenregel [mm] \mbox{ anwenden } \Rightarrow [/mm] $v':=2(5-4x)*(-4)=(10-8x)*(-4)=-40+32x$
[mm] \mbox{Da auf dem Zähler eine Differenz ist, musst du darauf achten, dass erst u und nicht v abgeleitet wird, da sich sonst alles verdreht (anders,}
[/mm]
[mm] \mbox{als bei der Produktregel, wo eine Summe existiert, bei der das Kommutativgesetz getrost angewendet werden darf!)!}
[/mm]
[mm] \mbox{Jetzt setze ein:}
[/mm]
[mm] $f':f'(x)=\bruch{0*(5-4x)^2-8*(-40+32x)}{(5-4x)^4}=\bruch{320-256x}{(5-4x)^4}$
[/mm]
[mm] \mbox{Die Lösung deines Buches entspricht meiner Lösung, die Autoren müssen einen etwas anderen Weg genutzt haben (welchen, ist mir nicht klar.), doch mein Weg mit der Quotientenregel ist auf jeden Fall einer der einfachsten.}
[/mm]
[mm] \mbox{Gruß,}
[/mm]
[mm] \mbox{Stefan.}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hi !
Geht doch auch (viel) leichter. Strikt nach Quotientenregel:
[mm] f'(x)=\bruch{0*(5-4x)²-(8)*2*(-4)(5-4x)}{(5-4x)^{4}} [/mm] <- hier sieht man schon, dass man kürzen kann.
[mm] =\bruch{64(5-4x)}{(5-4x)^{4}} =\bruch{64}{(5-4x)^{3}}
[/mm]
Bevor man zusammenfasst, immer erst gucken ob man kürzen kann, erleichtert späteren Aufwand. :)
Gruß
M.C.
|
|
|
| |
|
Ja, hast Recht, das ist mir gestern Nacht im Bett noch eingefallen. ^^
Tschö,
Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:49 Do 05.10.2006 | | Autor: | QCO |
Und noch ein "einfacherer Weg": nur die Kettenregel.
Betrachte $h(x)= [mm] \bruch{8}{(5 - 4x)^2}$ [/mm] als [mm] $\bruch{8}{u^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $h' = [mm] \bruch{-2*8}{u^3}$ [/mm] fehlt nach das Nachdifferenzieren(=Ableiten der 'inneren Funktion')... $u = 5 - 4x$, $u' = -4$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $h' = [mm] \bruch{-2*8*(-4)}{(5 - 4x)^3}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Do 05.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
Erstmal möchte ich mich für eure Mühen bedanken.
@Stefan-auchLotti
Ja jetzt wo du es sagst sehe ich es auch. Ich habe da ein bisschen an der Quotientenregel gefuscht.. Dein Lösungsweg ist mir verständlich aber deine Lösung entspricht leider nicht dem was in meine, Mathebuch steht. Trotzdem dankeschön.
@MacChevap
Dein Lösungsweg führt zu der richtigen Lösung, die auch in meinem Buch angegeben ist. Allerdings verstehe ich einen kleinen Schritt in deiner Lösung nicht so richtig und wäre froh wenn du mir diesen vielleicht mal kurz erläutern könntest.
Wenn ich diese Aufgabe mit der Qutientenregel schreibe sieht der erste Schritt folgender Maßen aus:
[mm]f'(x)=\bruch{0\cdot{}(5-4x)²-(8)\cdot(-4x)^2}{(5-4x)^{4}} [/mm]
Jetzt wollte ich fragen wie du dann bei deiner Lösung:
[mm]f'(x)=\bruch{0\cdot{}(5-4x)²-(8)\cdot{}2\cdot{}(-4)(5-4x)}{(5-4x)^{4}} [/mm]
im Zähler auf: [mm]2\cdot{}(-4)(5-4x)}[/mm]
gekommen bist?
@QCO
Danke für deine Antwort. Ehrlich gesagt sind wir in Mathe soweit noch nicht gekommen. Ich werde mir das trotzdem mal als Alternative warm halten. =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Do 05.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Quaeck!
Im hinteren Teil des Zählers wurde der Term (= der Nenner des Ausgangsbruches) [mm] $(5-4*x)^2$ [/mm] mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet:
[mm] $\left[ \ (5-4*x)^2 \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{2*(5-4*x)^1}_{\text{äußere Ableitung}}*\underbrace{4}_{\text{innere Abl.}} [/mm] \ = \ 8*(5-4*x)$
Der andere Faktor $8_$ kommt aus dem Zähler des Ausgangsbruches.
Nun klar(er) und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Do 05.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
Hi Loddar,
Nun ist es mir wirklich klar(er) [Externes Bild http://teximg2.matheraum.de/images/smileys/lichtaufgegangen.gif] . Die Verbindungen der ganzen Regeln war/ist mir noch etwas unklar, deshalb wusste ich nicht dass man auch die Kettenregel während der Qutientenregel anwenden kann/ anwenden muss, doch jetzt wird mir einiges klarer.
Großes Dankeschön.=)
|
|
|
|
