Quotientenregel Herleiten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Sa 19.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Hallo,
ich möchte die Quotientenregel über den Differenzialquotinen herleiten.
Die allg. Definiton der Ableitung/Differenzialquotienten ist ja
[mm] f´(x)=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
Mein f(x) ist ja [mm] \bruch{f(x)}{g(x)}
[/mm]
wenn ich das Einsetze erhalte ich
[mm] f´(x)=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{f(x+h)}{g(x+h)}-\bruch{f(x)}{g(x)}}{h}
[/mm]
Dann erweitere ich den Bruch um auf den Selben Nenner zu kommen und erhalte
[mm] f´(x)=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{f(x+h)*g(x)}{g(x+h)*g(x)}-\bruch{f(x)*g(x+h)}{g(x)*g(x+h)}}{h}
[/mm]
ich fasse das dann zu zusammen zu
[mm] f´(x)=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{f(x+h)*g(x)-f(x)*g(x+h)}{g(x+h)*g(x)}}{h}
[/mm]
Dann erweitere ich mit h und erhalte
[mm] \bruch{f(x+h)*g(x)-f(x)*g(x+h)}{g(x+h)*g(x)*h}
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht wie ich weiter machen muss um auf die Quotienregel zu kommen.
Könnte mir da jemand einen Hinweis geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Sa 19.04.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
[/mm]
Also:
[mm] h'(x_{0})=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{f(x_{0}+h)}{g(x_{0}+h)}-\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}}{h}
[/mm]
Brüche gleichnamig machen
[mm] =\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{f(x_{0}+h)g(x_{0})}{g(x_{0}+h)g(x_{0})}-\frac{f(x_{0})g(x_{0}+h)}{g(x_{0})g(x_{0}+h)}}{h}
[/mm]
Brüche subtrahieren
[mm] =\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{f(x_{0}+h)g(x_{0})-f(x_{0})g(x_{0}+h)}{g(x_{0})g(x_{0}+h)}}{h}
[/mm]
Das h aus dem Nenner holen, also mit 1/h multiplizieren
[mm] \lim\limits_{h\to0}\left(\frac{f(x_{0}+h)g(x_{0})-f(x_{0})g(x_{0}+h)}{g(x_{0})g(x_{0}+h)}\right)\cdot\frac{1}{h}
[/mm]
Das 1/h in den Zähler ziehen:
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{f(x_{0}+h)g(x_{0})}{h}-\frac{f(x_{0})g(x_{0}+h)}{h}}{g(x_{0})g(x_{0}+h)}
[/mm]
Die Brüche Passend auseinanderziehen
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{f(x_{0}+h)}{h}\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot\frac{g(x_{0}+h)}{h}}{g(x_{0})g(x_{0}+h)}
[/mm]
Nun hast du im Zähler die Ableitungen von f bzw g stehen, wenn h gegen 0 läuft.
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{f(x_{0}+h)}{h}\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot\frac{g(x_{0}+h)}{h}}{g(x_{0})g(x_{0}+h)}
[/mm]
ergibt also, für h=0
[mm] \frac{f'(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g'(x_{0})}{g(x_{0})g(x_{0}+0)}
[/mm]
[mm] =\frac{f'(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g'(x_{0})}{(g(x_{0}))^{2}}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:38 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Vielen Dank :)
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