Quotientenregel für Limiten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:38 Sa 30.03.2013 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | M = [mm] \IR a_n [/mm] -> a, [mm] b_n [/mm] -> b [mm] \not= [/mm] 0
=> (i) Fast alle [mm] b_n \not= [/mm] 0
(ii) [mm] \bruch{a_n}{b_n} [/mm] -> [mm] \bruch{a}{b}, [/mm] lim [mm] \bruch{a_n}{b_n} [/mm] = [mm] \bruch{lim a_n}{lim b_n}
[/mm]
Proof. (i) Sei [mm] \varepsilon [/mm] > beliebig aber fest
delta = [mm] min(\bruch{|b|}{2}, \bruch{|b|^2}{2}) [/mm] > 0, da b [mm] \not= [/mm] 0
[mm] b_n [/mm] -> b => [mm] \exists n_1 \forall [/mm] n [mm] \ge n_1 |b_n [/mm] - b| [mm] \le [/mm] delta
=> ||b| - [mm] |b_n|| \le |b_n-b| \le [/mm] delta
=> -delta [mm] \le |b_n| [/mm] - |b| [mm] \le [/mm] delta
=> [mm] |b_n| \ge [/mm] |b| - delta [mm] \ge \bruch{|b|}{2} [/mm] > 0
=> [mm] b_n \not= \forall [/mm] n [mm] \ge n_1
[/mm]
(ii) [mm] |\bruch{1}{b_n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{b}| [/mm] = [mm] |\bruch{b-b_n}{bb_n}| [/mm] = [mm] \bruch{|b-b_n|}{|b||b_n|}
[/mm]
[mm] \le \bruch{delta}{|b|\bruch{2}{|b|^2}} [/mm] (Zähler nach oben / Nenner nach unten abschätzen)
= delta * [mm] \bruch{2}{|b|^2} \le \varepsilon, [/mm] falls delta [mm] \le \bruch{|b|^2}{2} \varepsilon
[/mm]
da [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig => [mm] \bruch{1}{b_n} [/mm] -> [mm] \bruch{1}{b}
[/mm]
= Produktregel [mm] \bruch{a_n}{b_n} [/mm] = [mm] a_n [/mm] * [mm] \bruch{1}{b_n} [/mm] -> a * [mm] \bruch{1}{b} = \bruch{a}{b} [/mm] |
Meine Frage ist jetzt dazu, soweit ist eben mal das [mm] \varepsilon [/mm] nicht beliebig?
Also man könnte auch einsetzen für delta bei delta * [mm] \bruch{2}{|b|^2} \le \varepsilon
[/mm]
delta = [mm] \bruch{|b|}{2}
[/mm]
delta * [mm] \bruch{2}{|b|^2} \le \varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{|b|}{2} [/mm] * [mm] \bruch{2}{|b|^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{|b|} \le \varepsilon
[/mm]
delta = [mm] \bruch{|b|^2}{2}
[/mm]
delta * [mm] \bruch{2}{|b|^2} [/mm] = 1 [mm] \le \varepsilon
[/mm]
und soweit wäre eben [mm] \varepsilon [/mm] nicht beliebig?
überarbeit
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:06 Sa 30.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo msg08,
> M = [mm]\IR a_n[/mm] -> a, [mm]b_n[/mm] -> b [mm]\not=[/mm] 0
>
> => (i) Fast alle [mm]b_n \not=[/mm] 0
> (ii) [mm]\bruch{a_n}{b_n}[/mm] -> [mm]\bruch{a}{b},[/mm] lim
> [mm]\bruch{a_n}{b_n}[/mm] = [mm]\bruch{lim a_n}{lim b_n}[/mm]
>
> Proof. (i) Sei [mm]\varepsilon[/mm] > beliebig aber fest
> delta = [mm]min(\bruch{|b|}{2}, \bruch{|b|^2}{2})[/mm] > 0, da b
> [mm]\not=[/mm] 0
> [mm]b_n[/mm] -> b => [mm]\exists n_1 \forall \ge[/mm] n [mm]|b_n[/mm] - b| [mm]\le[/mm] delta
> => ||b| - [mm]|b_n|| \le |b_n-b| \le[/mm] delta
> => -delta [mm]\le |b_n|[/mm] - |b| [mm]\le[/mm] delta
> => [mm]|b_n| \ge[/mm] |b| - delta [mm]\ge \bruch{|b|}{2}[/mm] > 0
> => [mm]b_n \not= \forall[/mm] n [mm]\ge n_1[/mm]
>
> (ii) [mm]|\bruch{1}{b_n}[/mm] - [mm]\bruch{1}{b}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{b-b_n}{bb_n}|[/mm] = [mm]\bruch{|b-b_n|}{|b||b_n|}[/mm]
> [mm]\le \bruch{delta}{|b|\bruch{2}{|b|^2}}[/mm] (Zähler nach oben
> / Nenner nach unten abschätzen)
Der Nenner soll hier wohl [mm] $|b|*\bruch{|b|}{2}$ [/mm] lauten.
> = delta * [mm]\bruch{2}{|b|^2} \le \varepsilon,[/mm] falls delta
> [mm]\le \bruch{|b|^2}{2} \varepsilon[/mm]
> da [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> beliebig => [mm]\bruch{1}{b_n}[/mm] -> [mm]\bruch{1}{b}[/mm]
> = Produktregel [mm]\bruch{a_n}{b_n}[/mm] = [mm]a_n[/mm] * [mm]\bruch{1}{b_n}[/mm] ->
> a * [mm]\bruch{1}{b} = \bruch{a}{b}[/mm]
> Meine Frage ist jetzt dazu, soweit ist eben mal das
> [mm]\varepsilon[/mm] nicht beliebig?
>
> Also man könnte auch einsetzen für delta bei delta *
> [mm]\bruch{2}{|b|^2} \le \varepsilon[/mm]
>
> delta = [mm]\bruch{|b|}{2}[/mm]
>
> delta * [mm]\bruch{2}{|b|^2} \le \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{|b|}{2}[/mm] * [mm]\bruch{2}{|b|^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{|b|} \le \varepsilon[/mm]
>
> delta = [mm]\bruch{|b|^2}{2}[/mm]
>
> delta * [mm]\bruch{2}{|b|^2}[/mm] = 1 [mm]\le \varepsilon[/mm]
>
> und soweit wäre eben [mm]\varepsilon[/mm] nicht beliebig?
Mir erscheint dein Einwand berechtigt.
Ich nehme mal an, dass folgendes gemeint war: [mm] $\delta$ [/mm] sollte gewählt werden als [mm] $\delta:=min(\bruch{|b|}{2}, \bruch{|b|^2}{2}\blue{*\varepsilon})$. [/mm] Dann GILT [mm] $\delta\le\bruch{|b|^2}{2} \varepsilon$ [/mm] und der Beweis funktioniert.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:17 Sa 30.03.2013 | | Autor: | msg08 |
Hattest Recht, war soweit falsch, also hast es soweit richtig gesehen. Jo, werd es mir nochmal anschauen. Danke und noch nen schönen Abend und Respekt fürs gut nochmal schauen ist nicht so einfach finde ich.
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