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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Quotientenringe
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Quotientenringe: Berechnung von Polynomen
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 15:30 Mi 09.11.2005
Autor: masahiro01

Hallo zusammen!

Ich wollte anfragen ob ihr mir bei folgendem Problem weiterhelfen könnt:

Gegeben eine Algebra

[mm] \begin{equation} \nonumber A=\mathbb K \left[x_{1},...,x_{n}\right]/I \end{equation} [/mm]   , wobei $I$ ein Ideal ist

und folgende Abbildung, für ein [mm] $f\in \mathbb K\left[x_{1},...,x_{n}\right]$: [/mm]

[mm] $m_{f}$: $A\rightarrow [/mm] A$ mit

[mm] \begin{equation} \nonumber m_{f}\left(\left[g\right]\right)=\left[f\right]\cdot\left[g\right]=\left[fg\right]\in A~~~~~\textrm {für} \left[g\right]~\in~A \end{equation} [/mm]

[mm] $M_{f}$ [/mm] sei die zugehörige Abbildungsmatrix.

Dann haben wir folgende Abbildung definiert :

[mm] $\mathbb K\left[u\right]\rightarrow [/mm] A$ mit [mm] $P\left(u\right)\mapsto \left[P\left(f\right)\right]$ [/mm]

und bewiesen, dass folgender Isomorphismus existiert:

[mm] \begin{equation}\nonumber \mathbb K\left[u\right]/\left\langle \textrm{CharPoly}_{M_{f}}\left(u\right)\right\rangle\cong A \end{equation} [/mm]

Nun zum Problem: Wir können wohl die Äquivalenzklasse [mm] $\left[x_{i}\right]\in [/mm] A$ schreiben als ein Polynom in [mm] $\left[f\right]$ [/mm] ,also

[mm] $\left[x_{i}\right]=P_{i}\left[f\right]$ [/mm]

Dieses [mm] $P_{i}$ [/mm] können wir mit Hilfe einer Gröbnerbasis von $I$ konkret angeben. Ich seh aber leider nicht wie das gehen soll. Und wie der Isomorphismus hilft sehe ich leider auch nicht

Vielleicht könnte mir jemand das an folgendem Beispiel zeigen:

Folgende Quotientenalgebra

[mm] $A=\mathbb K\left[x,y\right]/\left\langle f_{1},f_{2},f_{3}\right\rangle$ [/mm]

mit

[mm] \begin{array}{rcl} f_{1}&=&x^2+2y^2-2y=0\\ f_{2}&=&xy^2-xy=0\\ f_{3}&=&y^3-2y^2+y=0\\ \end{array} [/mm]

die eine Gröbnerbasis dartsellen.

Sei z.B. [mm] $x_{i}=y$ [/mm] und $f=2x+3y$

Vielleicht braucht ihr noch mehr Infos, werde regelmäßig reinschauen. Meiner Meinung nach müsste, es über den Ansatz laufen, dass

[mm] $\left[x_{i}\right]=P_{i}\left[f\right] ~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~x_{i}-P_{i}\left(f\right)\in [/mm] I$   also

[mm] $\left[y\right]=P_{i}\left[2x+3y\right] ~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~y-P_{i}\left(2x+3y\right)\in [/mm] I$

Hoffentlich könnt ihr mir helfen!

Bis bald

Masahiro



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Quotientenringe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:38 Fr 11.11.2005
Autor: Stefan

Hallo Masahiro!

Leider konnte dir niemand hier bei deinem Problem in dem von dir dafür vorgesehenen Fälligkeitszeitraum weiterhelfen. [sorry] Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal wieder mehr Glück... [kleeblatt]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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