R-Modulhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Di 12.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei R ein Ring, I [mm] \subset [/mm] R ein Ideal und f:M [mm] \to [/mm] N ein R-Modulhomomorphismus.
Beweise oder wiederlege:
i) Ist f surjektiv, so auch die induzierte Abb. M/ IM [mm] \to [/mm] N/ IN.
ii) Ist f injektiv, so auch die induzierte Abb. M/ IM [mm] \to [/mm] N/ IN. |
Hallo,
ich hab versucht, die Aufgabe zu machen, bin mir aber nicht sicher, ob das so stimmt. Ich hoffe, dass sich jemand meine Lösung anschauen könnte und mich verbessert, wenn was nicht richtig ist. Danke!!!
i) Meiner Meinung nach ist f surjektiv, denn:
Sei [mm] \overline{f}: [/mm] M/ IM [mm] \to [/mm] N/ IN, (m+ IM) [mm] \mapsto [/mm] f(m) + IN
Da f surjektiv ist, gilt doch [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] M: f(m) = n, also ist m= [mm] f^{-1}(n)
[/mm]
Dann: [mm] \overline{f}(m+ [/mm] IM) = [mm] \overline{f}(f^{-1}(n) [/mm] + IM) = [mm] f(f^{-1}(n)) [/mm] + IN = n + IN [mm] \in [/mm] N/ IN
Also ist [mm] \overline{f} [/mm] auch surjektiv. Ist das so richtig?
Bei der ii) bin ich noch nicht weit gekommen.
Da f injektiv ist, gilt f(m) = f(m') [mm] \Rightarrow [/mm] m = m'
Wenn jetzt [mm] \overline{f} [/mm] auch injektiv sein sollte, dann müsste doch gelten:
[mm] \overline{f}(m [/mm] + IM) = [mm] \overline{f}(m' [/mm] + IM) [mm] \Rightarrow [/mm] m+ IM = m' + IM
Jetzt hab ich versucht, so anzufangen.
sei [mm] \overline{f}(m [/mm] + IM) = [mm] \overline{f}(m' [/mm] + IM)
f(m) + IN = f(m') + IN
Da f(m) = f(m'), folgt 0 [mm] \in [/mm] IN. Kann das sein??
Jetzt komm ich nicht mehr weiter. Folgt dann daraus, dass [mm] \overline{f} [/mm] nicht injektiv ist? Bestimmt ist das nicht richtig, was ich gemacht habe, aber ich weiß nicht, was ich falsch mache.
Ich hoffe, es kann mir jemand dabei weiter helfen.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mi 13.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Moe!
> Sei R ein Ring, I [mm]\subset[/mm] R ein Ideal und f:M [mm]\to[/mm] N ein
> R-Modulhomomorphismus.
> Beweise oder wiederlege:
> i) Ist f surjektiv, so auch die induzierte Abb. M/ IM [mm]\to[/mm]
> N/ IN.
> ii) Ist f injektiv, so auch die induzierte Abb. M/ IM [mm]\to[/mm]
> N/ IN.
> ich hab versucht, die Aufgabe zu machen, bin mir aber
> nicht sicher, ob das so stimmt. Ich hoffe, dass sich jemand
> meine Lösung anschauen könnte und mich verbessert, wenn was
> nicht richtig ist. Danke!!!
>
> i) Meiner Meinung nach ist f surjektiv, denn:
> Sei [mm]\overline{f}:[/mm] M/ IM [mm]\to[/mm] N/ IN, (m+ IM) [mm]\mapsto[/mm] f(m) +
> IN
>
> Da f surjektiv ist, gilt doch [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N [mm]\exists[/mm] m [mm]\in[/mm]
> M: f(m) = n,
Das ist OK, ...
> also ist m= [mm]f^{-1}(n)[/mm]
> Dann: [mm]\overline{f}(m+[/mm] IM) = [mm]\overline{f}(f^{-1}(n)[/mm] + IM) =
> [mm]f(f^{-1}(n))[/mm] + IN = n + IN [mm]\in[/mm] N/ IN
... aber das solltest du so nicht hinschreiben. [mm] f^{-1}(n) [/mm] impliziert, daß f bijektiv ist, und davon ist hier nicht die Rede. Also müßtest du sagen und schreiben 'Mit diesem m ist [mm] \overline{f}(m [/mm] + IM) = ... = n + IN'
> Also ist [mm]\overline{f}[/mm] auch surjektiv. Ist das so richtig?
Sieht so aus!
> Bei der ii) bin ich noch nicht weit gekommen.
> Da f injektiv ist, gilt f(m) = f(m') [mm]\Rightarrow[/mm] m = m'
> Wenn jetzt [mm]\overline{f}[/mm] auch injektiv sein sollte, dann
> müsste doch gelten:
> [mm]\overline{f}(m[/mm] + IM) = [mm]\overline{f}(m'[/mm] + IM) [mm]\Rightarrow[/mm]
> m+ IM = m' + IM
>
> Jetzt hab ich versucht, so anzufangen.
> sei [mm]\overline{f}(m[/mm] + IM) = [mm]\overline{f}(m'[/mm] + IM)
> [mm] \gdw [/mm] f(m) + IN = f(m') + IN
Äquivalenzzeichen eingefügt
> Da f(m) = f(m'), folgt 0 [mm]\in[/mm] IN. Kann das sein??
Wieso sollte f(m) = f(m') sein? Und aus f(m) + IN = f(m') + IN folgt nur f(m) - f(m') [mm] \in [/mm] IN.
Aber: Wenn du für R [mm] \IZ [/mm] nimmst, für M auch [mm] \IZ [/mm] und für N [mm] \IQ [/mm] und als injektive Abbildung die Einbettung und dann noch für I [mm] 2\IZ [/mm] nimmst, dann müßtest du ein Gegenbeispiel finden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo statler,
vielen Dank für deine Antwort. Ich habe versucht mit deinem Tipp weiter zu arbeiten bei der ii).
> Aber: Wenn du für R [mm]\IZ[/mm] nimmst, für M auch [mm]\IZ[/mm] und für N
> [mm]\IQ[/mm] und als injektive Abbildung die Einbettung und dann
> noch für I [mm]2\IZ[/mm] nimmst, dann müßtest du ein Gegenbeispiel
> finden.
Die injektive Einbettung f lautet so: f: [mm] \IZ \to \IQ [/mm] oder?
Dann habe ich als Abb. [mm] \overline{f}: \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ \to \IQ [/mm] / [mm] 2\IZ\IQ [/mm] (habe einfach M, I und N ersetzt)
Nun habe ich eine Frage:
Ist [mm] \IQ [/mm] / 2 [mm] \IZ \IQ [/mm] = [mm] \IQ [/mm] / 2 [mm] \IQ? [/mm] Ich weiß nicht genau, was das für eine Klasse ist. Ist das die Klasse aller ungeraden rationalen Zahlen, da alle geraden rat. Zahlen auf 0 abgebildet werden?
Dann habe ich mir überlegt, dass [mm] \overline{f} [/mm] nicht injektiv sein kann, weil ker [mm] \overline{f} [/mm] = { x [mm] \in \IZ [/mm] /2 | [mm] \overline{f}(x) [/mm] = 0 } = {0}
Aber 0 ist nicht in [mm] \IQ [/mm] / [mm] 2\IQ
[/mm]
Bin mir überhaupt nicht sicher, ob das so stimmt.
Ich hoffe, dass mir noch einen Tipp geben kannst, wenn nicht so geht, da ich nicht weiß, wie ich das sonst zeigen soll.
Danke nochmal!!
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mi 13.06.2007 | | Autor: | statler |
> Hallo statler,
> vielen Dank für deine Antwort. Ich habe versucht mit
> deinem Tipp weiter zu arbeiten bei der ii).
> > Aber: Wenn du für R [mm]\IZ[/mm] nimmst, für M auch [mm]\IZ[/mm] und für N
> > [mm]\IQ[/mm] und als injektive Abbildung die Einbettung und dann
> > noch für I [mm]2\IZ[/mm] nimmst, dann müßtest du ein Gegenbeispiel
> > finden.
>
> Die injektive Einbettung f lautet so: f: [mm]\IZ \to \IQ[/mm] oder?
> Dann habe ich als Abb. [mm]\overline{f}: \IZ[/mm] / [mm]2\IZ \to \IQ[/mm]
> / [mm]2\IZ\IQ[/mm] (habe einfach M, I und N ersetzt)
> Nun habe ich eine Frage:
> Ist [mm]\IQ[/mm] / 2 [mm]\IZ \IQ[/mm] = [mm]\IQ[/mm] / 2 [mm]\IQ?[/mm] Ich weiß nicht genau,
> was das für eine Klasse ist. Ist das die Klasse aller
> ungeraden rationalen Zahlen, da alle geraden rat. Zahlen
> auf 0 abgebildet werden?
[mm] \IQ [/mm] ist ein Körper, da gibt es keine geraden und ungeraden Zahlen. Jede Zahl außer 0 ist eine Einheit. Also ist [mm] \IQ/2\IQ [/mm] der Nullmodul.
[mm] \IZ/2\IZ [/mm] ist nicht der Nullmodul und wird von [mm] \overline{f} [/mm] auf den Nullmodul abgebildet, kann also nicht injektiv sein.
> Dann habe ich mir überlegt, dass [mm]\overline{f}[/mm] nicht
> injektiv sein kann, weil ker [mm]\overline{f}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { x [mm]\in \IZ[/mm] /2
> | [mm]\overline{f}(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0 } = {0}
> Aber 0 ist nicht in [mm]\IQ[/mm] / [mm]2\IQ[/mm]
Doch, 0 ist da drin, genauer [mm] \overline{0}.
[/mm]
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo statler,
vielen Dank für deine Antwort. Ich hab bloß eines nicht verstanden.
Was genau heißt, dass [mm] \IQ/2\IQ [/mm] ein Nullmodul ist? Ist [mm] \IQ/2\IQ [/mm] auch ein Körper?
Ich hab in meinem Vorlesungsskript nach geschaut und auch im Bosch Algebra Buch geschaut, aber nirgendwo eine Definition gefunden.
Heißt es, dass es nur aus der 0 besteht? Das ist mir nicht ganz klar...
Was passiert mit den anderen Elementen in [mm] \IQ/2\IQ? [/mm]
Die allgemeine Definition eines Moduls ist mir bekannt.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Fr 15.06.2007 | | Autor: | statler |
Hi Moe!
> Was genau heißt, dass [mm]\IQ/2\IQ[/mm] ein Nullmodul ist? Ist
> [mm]\IQ/2\IQ[/mm] auch ein Körper?
Ein Modul ist ja zunächst einmal eine abelsche Gruppe, und die kleinstmögliche ist {0}. Also mit nur einem Element.
[mm] 2\IQ [/mm] ist wieder [mm] \IQ, [/mm] also hat [mm] \IQ/2\IQ [/mm] = [mm] \IQ/\IQ [/mm] nur ein Element. Damit ist es automatisch kein Körper, Körper haben mindestens 2 Elemente. Außerdem betrachten wir eh nur die additive Struktur.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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