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| Aufgabe | Für [mm] u,v\in \IR [/mm] sind mit u*v bzw [mm] u^v [/mm] die Multiplikation bzw Exponentation gegeben.
Man betrachte [mm] V={x\in \IR| x>0}
[/mm]
Auf V wird eine neue Addition [mm] \oplus [/mm] definiert: [mm] x\oplus [/mm] y:= x*y, für [mm] x,y\in [/mm] V
und die [mm] \IR- [/mm] Skalarmultiplikation [mm] \otimes [/mm] durch [mm] a\otimes x:=x^a, [/mm] für [mm] a\in \IR [/mm] und [mm] x\in [/mm] V.
Zeige: [mm] (V,\oplus ,\otimes) [/mm] ein [mm] \R [/mm] -Vektorrraum ist. |
ich kenne bisher nur einen K-Vektorraum und die Kriterien die dort erfüllt sein müssen:
1. [mm] V\not=\emptyset
[/mm]
2. V ist abgeschlossen bezüglich der Addition
3. V ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation
Aber ich hab keine Ahnung wie ich das hier zeigen soll mit u und v!
Könnt ihr mir dabei helfen? Vorallem verwirrt mich die neue Definition von [mm] \oplus [/mm] und [mm] \otimes.
[/mm]
Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
MfG
Mathegirl
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Das ist eigentlich von der Idee her das gleiche Gebilde, wie ein "normaler" Vektorraum aus einer Lin.Alg.-Vorlesung.
Hier wird nur statt der Addition die Multiplikation
und statt der Multiplikation die Exponentation
verwendet.
Die Menge [mm]V=\{x\in \IR\quad | x\geq 0\}[/mm] ist ja klar.
Beispiel:
[mm]u= 4, v=\pi[/mm]
beides liegt in V, da [mm]4,\pi \in \IR[/mm] und [mm]\geq 0[/mm].
Jetzt gilt
[mm]4\oplus \pi :=4\cdot \pi[/mm]
und für ein Skalar [mm]s\in\IR\;[/mm] z.B. [mm]s=-5.1\;[/mm]
[mm]s\otimes v=s\otimes \pi := \pi^{-5.1} [/mm]
> ich kenne bisher nur einen K-Vektorraum und die Kriterien die dort erfüllt sein müssen:
ein K-Vektorraum ist ein Vektorraum über einem beliebigen Körper
ein [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist ein VR über dem speziellen Körper [mm] $\IR$ [/mm] (falls es an der Begrifflichkeit scheitert)
Jetzt musst du halt deine Punkte abarbeiten:
1) [mm] $v\neq \emptyset$ [/mm] ?
2) im Beispiel oben war [mm] $4\pi$ [/mm] wieder in V. Gilt es auch für allgemeine Elemente [mm] $x,y\in [/mm] V$, dass [mm] $x\oplusy:=x\cdot [/mm] y$ wieder in V liegt, also eine relle Zahl [mm] $\geq [/mm] 0$ ist?
Vielmehr muss [mm] $(V,\oplus)$ [/mm] auch eine abelsche Gruppe se
n und da gibt es noch mehr Axiome für einen Vektorraum.
Salopp:
Multipliziere statt addiere und exponenziere statt multipliziere.
Probier das mit der Abgeschlossenheit gegenüber Skalaren aus. Eigentlich sollte da ne einfache Begründung reichen, ebenso bei den Distributivgesetzen.
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Abgeschlossenheit bezüglich der Addition abelsche Gruppe:
Assoziativgesetz: (x*y)*z=x*y*z=x*(y*z)
Kommutativgesetz: x*y=y*x
neutrales Element: 1*x=x*1=x
inverses Element: [mm] x*x^{-1}= \bruch{x}{x}=1
[/mm]
Das was ich oben geschrieben habe reicht doch aber nicht aus die Eigenschaften einer abelschen Gruppe zu zeigen oder?
Wie mache ich das jetzt bei der Skalarmultiplikation?
[mm] x^a*(y^a*z^a)=(x^a*y^a)*z^a
[/mm]
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:29 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Abgeschlossenheit bezüglich der Addition abelsche Gruppe:
> Assoziativgesetz: (x*y)*z=x*y*z=x*(y*z)
> Kommutativgesetz: x*y=y*x
> neutrales Element: 1*x=x*1=x
> inverses Element: [mm]x*x^{-1}= \bruch{x}{x}=1[/mm]
>
> Das was ich oben geschrieben habe reicht doch aber nicht
> aus die Eigenschaften einer abelschen Gruppe zu zeigen
> oder?
Wenn Du obiges gezeigt hast, reicht das. Das obiges gilt, dürfte doch klar sein. Warum ?
>
> Wie mache ich das jetzt bei der Skalarmultiplikation?
> [mm]x^a*(y^a*z^a)=(x^a*y^a)*z^a[/mm]
zeigen mußt Du:
a [mm] \otimes [/mm] (b [mm] \otimes [/mm] x)= (ab) [mm] \otimes [/mm] x
a [mm] \otimes [/mm] (x [mm] \oplus [/mm] y)= a [mm] \otimes [/mm] x [mm] \oplus [/mm] a [mm] \otimes [/mm] y
(a+b) [mm] \otimes [/mm] x= a [mm] \otimes [/mm] x [mm] \oplus [/mm] b [mm] \otimes [/mm] x
1 [mm] \otimes [/mm] x =x
für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] und allex [mm] \in [/mm] V
FRED
>
>
> Mathegirl
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Danke für die gute Erklärung!
da liegt ja das problem bei der Multiplikation. die multiplikation wurde ja definiert als [mm] a\otimes x=x^a
[/mm]
Ich weiß nun nicht genau wie ich das dort einsetzen muss, das ist hier mein Problem.
[mm] (x^b)^a= [/mm] x^ab
[mm] (xy)^a= x^a*y^a
[/mm]
[mm] x^{ab}= x^a*x^b
[/mm]
[mm] x^1= [/mm] x
Aber das wäre ja nur in die Definition eingesetzt, das reicht doch sicher nicht um zu zeigen, dass es sich um einen vektorrraum handelt oder? Das muss ich doch sicher noch ausführlicher zeigen wie z.B. [mm] x^1=x [/mm] noch ausführlicher beweisen, oder?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:49 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die gute Erklärung!
>
> da liegt ja das problem bei der Multiplikation. die
> multiplikation wurde ja definiert als [mm]a\otimes x=x^a[/mm]
>
> Ich weiß nun nicht genau wie ich das dort einsetzen muss,
> das ist hier mein Problem.
>
> [mm](x^b)^a=[/mm] x^ab
>
> [mm](xy)^a= x^a*y^a[/mm]
>
> [mm]x^{ab}= x^a*x^b[/mm]
Das stimmt aber nicht !
>
> [mm]x^1=[/mm] x
>
> Aber das wäre ja nur in die Definition eingesetzt, das
> reicht doch sicher nicht um zu zeigen, dass es sich um
> einen vektorrraum handelt oder? Das muss ich doch sicher
> noch ausführlicher zeigen wie z.B. [mm]x^1=x[/mm] noch
> ausführlicher beweisen, oder?
Nein [mm] x^1=x [/mm] mußt Du doch nicht beweisen !
Ich mach Dir den Beweis für
a $ [mm] \otimes [/mm] $ (x $ [mm] \oplus [/mm] $ y)= a $ [mm] \otimes [/mm] $ x $ [mm] \oplus [/mm] $ a $ [mm] \otimes [/mm] $ y
mal vor:
$a $ [mm] \otimes [/mm] $ (x $ [mm] \oplus [/mm] $ y)= (x $ [mm] \oplus [/mm] $ [mm] y)^a= (xy)^a=x^a*y^a= [/mm] (a $ [mm] \otimes [/mm] $ x )*(a $ [mm] \otimes [/mm] $ y )= (a $ [mm] \otimes [/mm] $ x ) [mm] \oplus [/mm] (a $ [mm] \otimes [/mm] $ y )$
FRED
>
>
> Mathegirl
>
>
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ich hab es jetzt richtig formuliert. Danke für den Hinweis.
Nun müsste doch eigentlich gezeigt sein, dass es sich bei [mm] (V,\oplus,\otimes) [/mm] um einen Vektorraum handelt oder?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:06 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ich hab es jetzt richtig formuliert. Danke für den
> Hinweis.
$ [mm] x^{ab}= x^a\cdot{}x^b [/mm] $
ist immer noch falsch.
> Nun müsste doch eigentlich gezeigt sein, dass es sich bei
> [mm](V,\oplus,\otimes)[/mm] um einen Vektorraum handelt oder?
Hast Du die anderen Regeln für die Skalarmultiplikation gezeigt ?
FRED
>
>
> Mathegirl
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[mm] (a+b)\otimes [/mm] x = [mm] a\otimes x\oplus b\otimes [/mm] x
= [mm] x^a+x^b
[/mm]
[mm] =a\otimes x\oplus b\otimes [/mm] x
ich habe die Abgeschlossenheit bezüglichkeit der Addition gezeigt (so wie gepostet) und die kriterien die du genannt hast. Das reicht doch um zu zeigen, dass es sich um einen vektorraum handelt oder?
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm](a+b)\otimes[/mm] x = [mm]a\otimes x\oplus b\otimes[/mm] x
> = [mm]x^a+x^b[/mm]
> [mm]=a\otimes x\oplus b\otimes[/mm] x
Das ist völlig falsch
FRED
>
> ich habe die Abgeschlossenheit bezüglichkeit der Addition
> gezeigt (so wie gepostet) und die kriterien die du genannt
> hast. Das reicht doch um zu zeigen, dass es sich um einen
> vektorraum handelt oder?
>
> Mathegirl
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hmm...kannst du mir vielleicht zeigen wie es richtig heißen muss?
ich glaub ich hab den fehler gefunden [mm] x^{a+b} [/mm] und nicht [mm] x^a+x^b [/mm] muss es heißen!
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:29 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> hmm...kannst du mir vielleicht zeigen wie es richtig
> heißen muss?
>
> ich glaub ich hab den fehler gefunden [mm]x^{a+b}[/mm] und nicht
> [mm]x^a+x^b[/mm] muss es heißen!
So ist es
FRED
>
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
> > Abgeschlossenheit bezüglich der Addition abelsche Gruppe:
> > Assoziativgesetz: (x*y)*z=x*y*z=x*(y*z)
> > Kommutativgesetz: x*y=y*x
> > neutrales Element: 1*x=x*1=x
> > inverses Element: [mm]x*x^{-1}= \bruch{x}{x}=1[/mm]
> >
>
> Wenn Du obiges gezeigt hast, reicht das. Das obiges gilt,
> dürfte doch klar sein. Warum ?
> >
Also um die Aufgabe richtig zu bearbeiten, schreibe ich die Gesetze hin und dazu schreibe ich, dass sie gelten, weil V eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung ist. Denn dann gelten die Gesetze.
Hab ich das richtig verstanden?
(Der Teil für die Multiplikation kommt dann natürlich noch dazu ^^)
LG
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> Hi
>
> > > Abgeschlossenheit bezüglich der Addition abelsche Gruppe:
> > > Assoziativgesetz: (x*y)*z=x*y*z=x*(y*z)
> > > Kommutativgesetz: x*y=y*x
> > > neutrales Element: 1*x=x*1=x
> > > inverses Element: [mm]x*x^{-1}= \bruch{x}{x}=1[/mm]
> > >
> >
> > Wenn Du obiges gezeigt hast, reicht das. Das obiges gilt,
> > dürfte doch klar sein. Warum ?
> > >
>
> Also um die Aufgabe richtig zu bearbeiten, schreibe ich die
> Gesetze hin und dazu schreibe ich, dass sie gelten, weil V
> eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung ist. Denn dann
> gelten die Gesetze.
> Hab ich das richtig verstanden?
Hallo,
nein.
Du mußt hier zeigen, daß [mm] (V,\oplus) [/mm] eine Gruppe ist.
Das, was Du planst, reicht nicht: es ist doch nicht jede Menge mit irgendeiner Verknüpfung eine Gruppe!
Das Zeigen ist hier aber nicht schwer.
Aufgrund der Definition von V und der Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] kannst Du Dich auf die Eigenschaften einer wohlbekannten Menge und Verknüpfung berufen.
Gruß v. Angela
>
> (Der Teil für die Multiplikation kommt dann natürlich
> noch dazu ^^)
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Huhu
> nein.
> Du mußt hier zeigen, daß [mm](V,\oplus)[/mm] eine Gruppe ist.
> Das, was Du planst, reicht nicht: es ist doch nicht jede
> Menge mit irgendeiner Verknüpfung eine Gruppe!
Ja okay, dann hab ich die Definition falsch verstanden (hätte mcih auch gewundert..macht nämlcih eigentlich gar kein Sinn ^^)
> Das Zeigen ist hier aber nicht schwer.
> Aufgrund der Definition von V und der Verknüpfung [mm]\oplus[/mm]
> kannst Du Dich auf die Eigenschaften einer wohlbekannten
> Menge und Verknüpfung berufen.
Na ja... die Addition hier, ist die Multiplikation...sollte wie in [mm] \IR [/mm] sein...
So ganz versteh ich es ja noch nicht, dass man sowas wie x*y = y*x beweisen kann/muss. Das wurde zu lange Zeit als Gott-gegeben dargestellt ; )
Hach, ich schreib jetzt einfach hin, was ich denke. Nächsten Freitag werd ich erleben, ob es richtig ist ^^
Danke für die hilfe : )
LG
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> Huhu
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> > nein.
> > Du mußt hier zeigen, daß [mm](V,\oplus)[/mm] eine Gruppe ist.
> > Das, was Du planst, reicht nicht: es ist doch nicht
> jede
> > Menge mit irgendeiner Verknüpfung eine Gruppe!
>
> Ja okay, dann hab ich die Definition falsch verstanden
> (hätte mcih auch gewundert..macht nämlcih eigentlich gar
> kein Sinn ^^)
>
> > Das Zeigen ist hier aber nicht schwer.
> > Aufgrund der Definition von V und der Verknüpfung
> [mm]\oplus[/mm]
> > kannst Du Dich auf die Eigenschaften einer wohlbekannten
> > Menge und Verknüpfung berufen.
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> Na ja... die Addition hier, ist die Multiplikation...sollte
> wie in [mm]\IR[/mm] sein...
Hallo,
ja, das ist der springende Punkt.
> So ganz versteh ich es ja noch nicht, dass man sowas wie
> x*y = y*x beweisen kann/muss. Das wurde zu lange Zeit als
> Gott-gegeben dargestellt ; )
Nun, wenn erstmal erkannt ist, daß es sich bei der Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] um die Multiplikation reeller Zahlen handelt, kannst Du dies mit dem Hinweis auf das "Rechnen in [mm] \IR" [/mm] oder auf [mm] "\IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] ist abelsche Gruppe" abhandeln.
Den Körper der reellen Zahlen habt Ihr ja behandelt.
Du könntest es zum Beispiel so machen:
seien x,y [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \{0\}.
[/mm]
In [mm] \IR [/mm] gilt x*y=y*x, also ist [mm] x\oplus y=y\oplus [/mm] x.
Gruß v. Angela
> Hach, ich schreib jetzt einfach hin, was ich denke.
> Nächsten Freitag werd ich erleben, ob es richtig ist ^^
>
> Danke für die hilfe : )
>
> LG
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