R-integrierbar, Abschätzung, < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:54 Di 27.01.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wie folgt für [mm] f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} [/mm] R-integrierbar
[mm] \underline{\int_a^b} [/mm] f + [mm] \underline{\int_a^b} [/mm] g [mm] \le \underline{\int_a^b} [/mm] (f+g) aus der Definition der R-Integrierbarkeit? |
Im Forster wir die Riemann-integrierbarkeit durch die Gleichheit des Ober- und Unterintegrals für beschränkte funktionen f:[a,b] $ [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] $ definiert.:
[mm] $\overline{ \int_a^b} [/mm] $ f(x) dx := inf $ [mm] \{\int_a^b \psi(x) dx : \psi \in \tau[a,b], f \le \psi\} [/mm] $
[mm] $\underline{ \int_a^b}$ [/mm] f(x) dx := sup $ [mm] \{\int_a^b \phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f\} [/mm] $
Seien [mm] \phi_1, \phi_2 \in \tau[a,b] [/mm] sodass: [mm] \phi_1 \le [/mm] f, [mm] \phi_2 \le [/mm] g
Dann ist [mm] \phi_1 [/mm] + [mm] \phi_2 \le [/mm] f+g
Es gilt für die zwei Treppenfunktionen: [mm] \int_a^b (\phi_1 [/mm] + [mm] \phi_2)=\int_a^b \phi_1 [/mm] + [mm] \int_a^b \phi_2
[/mm]
[mm] \underline{\int_a^b} [/mm] f + [mm] \underline{\int_a^b} [/mm] g=sup $ [mm] \{\int_a^b \phi_1(x) dx : \phi_1 \in \tau[a,b], \phi_1 \le f\} [/mm] $ +sup $ [mm] \{\int_a^b \phi_2(x) dx : \phi_2 \in \tau[a,b], \phi_2 \le g\} [/mm] $ [mm] =sup(M_1)+sup(M_2)=sup(M_1+M_2)
[/mm]
=sup $ [mm] \{\int_a^b \phi_1(x) dx +\int_a^b \phi_2(x) dx: \phi_2 \in \tau[a,b], \phi_2 \le g,\phi_1 \in \tau[a,b], \phi_1 \le f\}= [/mm] sup $ [mm] \{\int_a^b (\phi_1(x) dx +\phi_2(x)) dx: \phi_2,\phi_1 \in \tau[a,b], \phi_1 \le f, \phi_2 \le g\}
[/mm]
[mm] \kappa \in\{\int_a^b (\phi_1(x) +\phi_2(x)) dx: \phi_2 \in \tau[a,b], \phi_2 \le g,\phi_1 \in \tau[a,b], \phi_1 \le f\} \rightarrow \kappa \in \{\int_a^b \phi (x) dx | \phi \in \tau[a,b], \phi \le f+g\}
[/mm]
Das Supremum wird kleiner, wenn ich weniger Elemente betrachte.
sup [mm] \{\int_a^b (\phi_1(x) dx +\phi_2(x)) dx: \phi_2 \in \tau[a,b], \phi_2 \le g,\phi_1 \in \tau[a,b], \phi_1 \le f\} \le [/mm] sup [mm] \{\int_a^b \phi (x) dx | \phi \in \tau[a,b], \phi \le f+g\}=\underline{\int_a^b} [/mm] (f+g)
Passt das so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 29.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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