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R-intgr. Fktn auf Int beschr.?: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Mi 14.04.2010
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo!

Kann mir jemand sagen, ob eine Riemannintegrierbare Funktion auf einem Intervall [a,b] beschränkt ist und sogar dort ihr Maximum annimmt?

Vielen Dank im Voraus,
Lorenz

        
Bezug
R-intgr. Fktn auf Int beschr.?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Mi 14.04.2010
Autor: pelzig

Eine riemannintegrierbare Funktion kann auch unbeschränkt sein. Zum Beispiel [mm] $$[0,1]\ni x\mapsto\begin{cases}1/x^2&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}$$ [/mm] Wenn die Funktion aber auf [mm][a,b][/mm] sogar stetig ist, dann ist sie automatisch auch riemannintegrierbar, beschränkt und nimmt ihr Maximum an.

Gruß, Robert

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R-intgr. Fktn auf Int beschr.?: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 22:54 Mi 14.04.2010
Autor: SEcki


> Eine riemannintegrierbare Funktion

Per Definition ist das so einfach falsch - die müssen beschränkt sein.

> kann auch unbeschränkt
> sein. Zum Beispiel [mm][0,1]\ni x\mapsto\begin{cases}1/x^2&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}[/mm]

Diese Funktion ist lediglich uneigentlich Riemann-integrierbar.

> Wenn die Funktion aber auf [mm][a,b][/mm] sogar stetig ist, dann ist
> sie automatisch auch riemannintegrierbar, beschränkt und
> nimmt ihr Maximum an.

Ja. Es gibtaber R-int.bare Funktionen, die ihr Maximum nicht annehmen.

SEcki

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R-intgr. Fktn auf Int beschr.?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:57 Mi 14.04.2010
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo Robert,

herzlichen Dank für Deine schnelle Reaktion.
Die zu nicht weiter konkret gegebene Funktion ist nicht stetig auf [a,b]. Dein Bespiel ist für meine Argumentation sehr hilfreich.

Vielen Dank!,
Lieben Gruß,
Lorenz

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R-intgr. Fktn auf Int beschr.?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:40 Do 15.04.2010
Autor: pelzig

Okay ich habe nochmal nachgelesen, Riemannintegrierbare Funktionen sollten natürlich beschränkt sein, sonst könnte man den ganzen Ober-/Untersummenkram ja gar nicht machen. Tut mir Leid für die Irritation. Aber ihr Maximum muss eine R.-integrierbare Funktion natürlich trotzdem nicht annehmen.

Gruß, Robert

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R-intgr. Fktn auf Int beschr.?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Mi 14.04.2010
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo Secki,

hab jetzt erst Deine Mitteilung gelesen.
Also ist es falsch zu behaupten, dass es eine Riemannintgr. Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall ihr Maximum annimmt?

Gruß,
Lorenz


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R-intgr. Fktn auf Int beschr.?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Mi 14.04.2010
Autor: SEcki


> hab jetzt erst Deine Mitteilung gelesen.
>  Also ist es falsch zu behaupten, dass es eine
> Riemannintgr. Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall
> ihr Maximum annimmt?

Ja.

SEcki

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R-intgr. Fktn auf Int beschr.?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Mi 14.04.2010
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo Secki,

entschuldige bitte für noch eine weitere Rückfrage - aber kannst Du mir vielleicht noch ein Beispiel für eine auf einem abgeschlossen Intervall unbeschränkte Funktion, die r-intbar ist nennen?

Gruß,
Lorenz

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R-intgr. Fktn auf Int beschr.?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:24 Mi 14.04.2010
Autor: SEcki


> entschuldige bitte für noch eine weitere Rückfrage - aber
> kannst Du mir vielleicht noch ein Beispiel für eine auf
> einem abgeschlossen Intervall unbeschränkte Funktion, die
> r-intbar ist nennen?

Nein. So eine gibt es nicht.

Beschränkt != nimmt Maximum an.

SEcki

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R-intgr. Fktn auf Int beschr.?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Do 15.04.2010
Autor: fred97

Ergänzend zu Seckis Antwort:

Die Fubktion

        $f(x)=x$ , falls x [mm] \in [/mm] [0,1)  und f(1) = 0

ist Riemannint. über [0,1] , nimmt aber in [0,1] kein Maximum an.

FRED

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