R-intgr. Fktn auf Int beschr.? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Kann mir jemand sagen, ob eine Riemannintegrierbare Funktion auf einem Intervall [a,b] beschränkt ist und sogar dort ihr Maximum annimmt?
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mi 14.04.2010 | | Autor: | pelzig |
Eine riemannintegrierbare Funktion kann auch unbeschränkt sein. Zum Beispiel [mm] $$[0,1]\ni x\mapsto\begin{cases}1/x^2&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}$$ [/mm] Wenn die Funktion aber auf [mm][a,b][/mm] sogar stetig ist, dann ist sie automatisch auch riemannintegrierbar, beschränkt und nimmt ihr Maximum an.
Gruß, Robert
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:54 Mi 14.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Eine riemannintegrierbare Funktion
Per Definition ist das so einfach falsch - die müssen beschränkt sein.
> kann auch unbeschränkt
> sein. Zum Beispiel [mm][0,1]\ni x\mapsto\begin{cases}1/x^2&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}[/mm]
Diese Funktion ist lediglich uneigentlich Riemann-integrierbar.
> Wenn die Funktion aber auf [mm][a,b][/mm] sogar stetig ist, dann ist
> sie automatisch auch riemannintegrierbar, beschränkt und
> nimmt ihr Maximum an.
Ja. Es gibtaber R-int.bare Funktionen, die ihr Maximum nicht annehmen.
SEcki
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Hallo Robert,
herzlichen Dank für Deine schnelle Reaktion.
Die zu nicht weiter konkret gegebene Funktion ist nicht stetig auf [a,b]. Dein Bespiel ist für meine Argumentation sehr hilfreich.
Vielen Dank!,
Lieben Gruß,
Lorenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Do 15.04.2010 | | Autor: | pelzig |
Okay ich habe nochmal nachgelesen, Riemannintegrierbare Funktionen sollten natürlich beschränkt sein, sonst könnte man den ganzen Ober-/Untersummenkram ja gar nicht machen. Tut mir Leid für die Irritation. Aber ihr Maximum muss eine R.-integrierbare Funktion natürlich trotzdem nicht annehmen.
Gruß, Robert
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Hallo Secki,
hab jetzt erst Deine Mitteilung gelesen.
Also ist es falsch zu behaupten, dass es eine Riemannintgr. Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall ihr Maximum annimmt?
Gruß,
Lorenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Mi 14.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> hab jetzt erst Deine Mitteilung gelesen.
> Also ist es falsch zu behaupten, dass es eine
> Riemannintgr. Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall
> ihr Maximum annimmt?
Ja.
SEcki
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Hallo Secki,
entschuldige bitte für noch eine weitere Rückfrage - aber kannst Du mir vielleicht noch ein Beispiel für eine auf einem abgeschlossen Intervall unbeschränkte Funktion, die r-intbar ist nennen?
Gruß,
Lorenz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mi 14.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> entschuldige bitte für noch eine weitere Rückfrage - aber
> kannst Du mir vielleicht noch ein Beispiel für eine auf
> einem abgeschlossen Intervall unbeschränkte Funktion, die
> r-intbar ist nennen?
Nein. So eine gibt es nicht.
Beschränkt != nimmt Maximum an.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Do 15.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Seckis Antwort:
Die Fubktion
$f(x)=x$ , falls x [mm] \in [/mm] [0,1) und f(1) = 0
ist Riemannint. über [0,1] , nimmt aber in [0,1] kein Maximum an.
FRED
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