R^2-->R^2 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:08 Do 02.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also konnte nicht klar Ausdrücken was es für ein Thema ist, hier die Aufgabe:
[mm] f(x)=x^{2}_{2}-5 x_{2} x_{1}^{2}+4x_{1}^{4}
[/mm]
Mir ist nicht klar wie ich es zeigen kann.
Sei [mm] x'=(0,0)^{T}. [/mm] Wir betrachten dann für beliebiges festes h element [mm] R^{2}(h [/mm] ist [mm] ungleich(0,0)^{T} [/mm] die Funktionswerte von f entlang der Linie x' +th für kleines t>0. Man zeige: Es gibt ein epsilon>0 so dass f(x'+th)>f(x') für t element (0,epsilon).(D.h. die Funktion f steigt ausgehend von x' in richtung th zunächst an.
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Hallo!
Setze [mm] $h:=\vektor{h_1\\h_2}$ [/mm] und setze das jetzt in $f(x'+th)$ ein. Dann kommst du auf die Funktion [mm] $\tilde [/mm] f(t):=f(x'+th)= [mm] t^2h_2^2-5t^3h_1^2h_2+4t^4$.
[/mm]
Da $f(x')=0$ ist, musst du jetzt nur noch zeigen, dass es ein Intervall [mm] $(0,\epsilon)$ [/mm] gibt, auf dem [mm] $\tilde [/mm] f >0$ ist...
Hast du dafür eine Idee?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Also so weit war ich auch schon aber kommt leider kein geistesblitz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wir müssen ja
[mm] $f(t)=4t^2 \left(t^2 + \frac{5}{4}th_1^2h_2 + \frac{h_2^2}{4}\right)$
[/mm]
untersuchen.
Im Falle [mm] $h_1=0$ [/mm] ist nichts zu zeigen, denn dann ist der zweite Faktor von $f$ eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt [mm] $S\left(0/\frac{h_2^2}{4} \right)$ [/mm] mit [mm] $\frac{h_2^2}{4}>0$ [/mm] (der erste Faktor ist eh positiv für $t [mm] \ne [/mm] 0$).
Jetzt betrachten wir den Fall [mm] $h_1 \ne [/mm] 0$:
Der erste Faktor ist echt positiv für $t [mm] \ne [/mm] 0$, die beiden Nullstellen des zweiten Faktors sind
[mm] $t_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{5}{8} h_1^2h_2 \pm \frac{1}{2}h_2 \sqrt{\frac{25}{16}h_1^4-1}$.
[/mm]
Nun gilt:
[mm] $\left\vert \sqrt{\frac{25}{16}h_1^4-1} \right\vert [/mm] < [mm] \left| \frac{5}{8}h_1h_2^2 \right|$.
[/mm]
Dies bedeutet: Im Falle [mm] $h_1>0$ [/mm] gilt: [mm] $t_1>0,t_2>0$ [/mm] und im Falle [mm] $h_1<0$ [/mm] gilt: [mm] $t_1<0,t_2<0$. [/mm] Der Nulpunkt liegt also in beiden Fällen nicht zwischen den beiden Nullstellen der nach oben geöffneten Parabel, so dass der Funktionswert an der Stelle $t=0$ auf jeden Fall positiv ist. Den Rest liefert die Stetigkeit von $f$.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 05.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Also komme einigermaßen hinterher, aber mir ist nicht klar was für epsilon jetzt rauskommt(also wie groß das Intervall ist).
Und wie kann kann ich ziegen das der [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] f(x'+th)= [mm] \infty?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Also komme einigermaßen hinterher, aber mir ist nicht klar
> was für epsilon jetzt rauskommt(also wie groß das Intervall
> ist).
Du brauchst [mm] $\varepsilon$ [/mm] nicht konkret anzugeben, sondern musst nur die Existenz eines [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beweisen.
> Und wie kann kann ich ziegen das der
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}[/mm] f(x'+th)= [mm]\infty?[/mm]
Du erhälst eine ganzrationale Funktion vierten Grades in $t$. Wenn der Koeffizient vonr [mm] $t^4$ [/mm] positiv ist, so folgt die Behauptung. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Danke, weiß was nun damit anzufangen
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