Radius im Magnetfeld < SchulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Gabs |
| Aufgabe | Wasserstoff- und Deuteriumkerne treten mit der gleichen Geschwindigkeit [mm]v_{x}[/mm] in das homogene elektrische Feld eines Plattenkondensators. Dort werden sie abgelenkt und treten anschließend in ein homogenes Magnetfeld ein. Zeigen Sie, dass im Magnetfeld für die Bahnradien der beteiligten Isotopenkerne gilt:
[mm]r_{H^+} : r_{D^+} \approx 1: \wurzel{2}[/mm]
<SPAN class=math>Eintrittsgeschwindigkeit: [mm]v_{x}=2,8*10^5\bruch{m}{s}[/mm]
Länge der Kondensatorplatten: l=0,2m
Abstand der Kondensatorplatten: d=0,04m
Kondensatorspannung: U=250V
</SPAN> |
Bisher errechnet:
Beschleunigung im Kondensator in y-Richtung, also auf eine der Kondensatorplatten hin.
[mm]F_{y}=F_{el}[/mm]
[mm]ma_{y}=e\bruch{U}{d}[/mm]
<SPAN class=math>[mm]a_{y}=\bruch{eU}{md}[/mm]
Parabelgleichung der Ionen im Kondensator:
</SPAN>[mm]y=\bruch{1}{2}a_{y}t^2=\bruch{eU}{2md}t^2|t=\bruch{x}{v_{x}}[/mm]
[mm]y(x)=\bruch{eU}{2mdv_{x}^2}x^2[/mm]
Dadurch, dass die Ionen auf eine der Kondensatorplatten hin beschleunigt werden, wird ihnen auch eine Geschwindigkeit in
y-Richtung verliehen.
[mm]v_{y}=a_{y}t|t=\bruch{l}{v_{x}}[/mm]
<SPAN class=math>[mm]v_{y}=a_{y}\bruch{l}{v_{x}}=\bruch{eUl}{mdv_{x}}[/mm]
Die resultierende Geschwindigkeit beim Verlassen des Kondensators berechnet sich durch vektorielle Addition der horizontalen und vertikalen Geschwindigkeit nach dem pythagoreischen Lehrsatz.
</SPAN>
[mm]v=\wurzel{v_{x}^2+v_{y}^2}=\wurzel{v_{x}^2+\bruch{e^2U^2l^2}{m^2d^2v_{x}^2}}[/mm]
Dadurch, dass die Ionen unterschiedliche Masse besitzen, werden sie unterschiedlich schnell beschleunigt und erhalten dadurch eine unterschiedliche Geschwindigkeit in y-Richtung. Beide Ionen-Typen verlassen mit unterschiedlicher resultierender Geschwindigkeit den Kondensator und betreten damit das Magnetfeld. Dies bewirkt natürlich unterschiedliche Ablenkradien.
Die Lorentzkraft, die das Magnetfeld bewirkt, wirkt als Zentripetalkraft, deshalb folgender Ansatz:
[mm]F_{Pet}=F_{L}[/mm]
[mm]\bruch{mv^2}{r}=Bev[/mm]
[mm]r=\bruch{mv}{Be}[/mm]
Jetzt zur eigentlichen Beantwortung der Ausgangsfrage:
Sowohl der Ansatz
[mm]\bruch{r_{H^+}}{r_{D^+}}=\bruch{m_{H^+}*v_{H^+}}{Be}\bruch{Be}{m_{D^+}*v_{D^+}}[/mm]
als auch die Formel für die kinetische Energie
[mm]E=\bruch{1}{2}mv^2[/mm]
führen mich nicht weiter.
Unter der Voraussetzung, dass ein Ion mit der Energie [mm]E_{x}[/mm] in den Kondensator eintritt, kann die Parabelbahngleichung anders geschrieben werden.
[mm]E_{x}=\bruch{1}{2}mv_{x}^2\to\bruch{1}{E_{x}}=\bruch{2}{mv_{x}^2}[/mm]
[mm]y=\bruch{1}{2mv_{x}^2}\bruch{eU}{d}x^2=\bruch{2}{4mv_{x}^2}\bruch{eU}{d}x^2=\bruch{eU}{4E_{x}d}x^2[/mm]
Auch der Energiegewinn <SPAN class=math>[mm]\Delta E_{kin}[/mm] durch die Beschleunigung in y-Richtung auf eine der Kondensatorplatten kann mit Hilfe von [mm]E_{x}[/mm] ausgedrückt werden.
</SPAN>[mm]\Delta E_{kin}=\bruch{1}{2}mv_{y}^2=\bruch{e^2}U^2{4E_{x}d^2}x^2[/mm]
Die Ionen betreten das Magnetfeld mit der kinetischen Energie
<SPAN class=math>[mm]E=E_{x}+\Delta E_{kin}[/mm]</SPAN>
Ich nehme an, dass es eine allgemeine Abschätzung gibt, zumal die Massen der Isotopen-Ionen nicht angegeben sind.
Kann mir bitte jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mo 24.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wasserstoff- und Deuteriumkerne treten mit der gleichen
> Geschwindigkeit [mm]v_{x}[/mm] in das homogene elektrische Feld
> eines Plattenkondensators. Dort werden sie abgelenkt und
> treten anschließend in ein homogenes Magnetfeld ein.
> Zeigen Sie, dass im Magnetfeld für die Bahnradien der
> beteiligten Isotopenkerne gilt:
>
> [mm]r_{H^+} : r_{D^+} \approx 1: \wurzel{2}[/mm]
>
> Eintrittsgeschwindigkeit:
> [mm]v_{x}=2,8*10^5\bruch{m}{s}[/mm]
> Länge der Kondensatorplatten: l=0,2m
> Abstand der Kondensatorplatten: d=0,04m
> Kondensatorspannung: U=250V
>
>
> Bisher errechnet:
>
> Beschleunigung im Kondensator in y-Richtung, also auf eine
> der Kondensatorplatten hin.
>
> [mm]F_{y}=F_{el}[/mm]
> [mm]ma_{y}=e\bruch{U}{d}[/mm]
> [mm]a_{y}=\bruch{eU}{md}[/mm]
>
> Parabelgleichung der Ionen im Kondensator:
>
> [mm]y=\bruch{1}{2}a_{y}t^2=\bruch{eU}{2md}t^2|t=\bruch{x}{v_{x}}[/mm]
> [mm]y(x)=\bruch{eU}{2mdv_{x}^2}x^2[/mm]
>
> Dadurch, dass die Ionen auf eine der Kondensatorplatten hin
> beschleunigt werden, wird ihnen auch eine Geschwindigkeit
> in
> y-Richtung verliehen.
>
> [mm]v_{y}=a_{y}t|t=\bruch{l}{v_{x}}[/mm]
> [mm]v_{y}=a_{y}\bruch{l}{v_{x}}=\bruch{eUl}{mdv_{x}}[/mm]
>
> Die resultierende Geschwindigkeit beim Verlassen des
> Kondensators berechnet sich durch vektorielle Addition der
> horizontalen und vertikalen Geschwindigkeit nach dem
> pythagoreischen Lehrsatz.
> vx:
>
> [mm]v=\wurzel{v_{x}^2+v_{y}^2}=\wurzel{v_{x}^2+\bruch{e^2U^2l^2}{m^2d^2v_{x}^2}}[/mm]
>
> Dadurch, dass die Ionen unterschiedliche Masse besitzen,
> werden sie unterschiedlich schnell beschleunigt und
> erhalten dadurch eine unterschiedliche Geschwindigkeit in
> y-Richtung. Beide Ionen-Typen verlassen mit
> unterschiedlicher resultierender Geschwindigkeit den
> Kondensator und betreten damit das Magnetfeld. Dies bewirkt
> natürlich unterschiedliche Ablenkradien.
>
> Die Lorentzkraft, die das Magnetfeld bewirkt, wirkt als
> Zentripetalkraft, deshalb folgender Ansatz:
>
> [mm]F_{Pet}=F_{L}[/mm]
> [mm]\bruch{mv^2}{r}=Bev[/mm]
> [mm]r=\bruch{mv}{Be}[/mm]
>
> Jetzt zur eigentlichen Beantwortung der Ausgangsfrage:
>
> Sowohl der Ansatz
>
> [mm]\bruch{r_{H^+}}{r_{D^+}}=\bruch{m_{H^+}*v_{H^+}}{Be}\bruch{Be}{m_{D^+}*v_{D^+}}[/mm]
>
> als auch die Formel für die kinetische Energie
>
> [mm]E=\bruch{1}{2}mv^2[/mm]
>
> führen mich nicht weiter.
Das verstehe ich nicht. Der Ansatz
[mm]\bruch{r_{H^+}}{r_{D^+}}=\bruch{m_{H^+}*v_{H^+}}{Be}\bruch{Be}{m_{D^+}*v_{D^+}}[/mm]
ist doch gut:
[mm]\bruch{r_{H^+}}{r_{D^+}}=\bruch{m_{H^+}*v_{H^+}}{Be}\bruch{Be}{m_{D^+}*v_{D^+}} = \bruch{m_{H^+}}{m_{D^+}} * \bruch{v_{H^+}}{v_{D^+}}[/mm].
Das Verhältnis der Massen ist 1:2, und für die Geschwindigkeiten musst du nur noch in deine obigen Formeln die Zahlen und Einheiten einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Gabs |
| Aufgabe | | Aber in der Angabe steht das Verhältnis [mm]1:\wurzel{2}[/mm] und nicht 1:2 |
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Hallo!
Rainer schrieb bisher ja nur etwas vom Massenverhältnis, hinzu kommt nun noch das Geschwindigkeitsverhältnis.
Beide Isotope gewinnen in dem Kondensator die selbe Energie hinzu, die in kin. Energie umgesetzt wird. Da aber das Deuterium doppelt so schwer ist, muß die Geschwindigkeit geringer sein. Das mußt du noch einbauen.
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