Radius r von Ku damit g = t < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Leute!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Es geht um Folgendes:
Aufgabenstellung lautet:
Wähle den Radius r der Kugel mit dem Mittelpunkt M so, dass sie die Gerade durch P und Q berührt.
M (2/0/7)
P (1/7/-13)
Q (-7/3/-5)
Nun hatte ich folgende Überlegung:
Man baut sich erstmal die Geradengleichung aus den Punkten P und Q:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 7 \\ -13} [/mm] + s [mm] \vektor{8 \\ 4 \\ -8}
[/mm]
Diese Geradengleichung in Parameterdarstellung kann man in die Normelenform und dann in die Hessesche Normalenform überführen, um den Abstand zum Nullpunkt ablesen zu können:
HNF: g: [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ \wurzel{80}} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ \wurzel{80}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 7 \\ -13} [/mm] = 0
Der Abstand zum Nullpunkt ist ja dann:
d (0/0/0) = [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ \wurzel{80}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 7 \\ -13} [/mm] = 0,447...
Nun bastelt man sich eine parallele Gerade zur gegebenen Geraden, die durch den Mittelpunkt verläuft. Von dieser Geraden ermittelt man ebenfalls mit der HNF den Abstand zum Nullpunkt:
HNF: [mm] g_{2} [/mm] : [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ \wurzel{80}} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ \wurzel{80}} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 7} [/mm] = 0
Der Abstand zum Nullpunkt ist ja dann:
d (0/0/0) = [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ \wurzel{80}} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 7} [/mm] = 3,1305...
Nun hat man beide Abstände zum Nullpunkt. Da beide Abstände positiv sind, muss man sie subtrahieren, um den Radius der Kugel zu erhalten, bei dem die Gerade und die Kugel einen gemeinsamen Berührpunkt haben:
r = 3,1305 - 0,447 = 2,6835
Schön und gut, das ist meine Idee und mein Lösungsweg. Habe ihn mir abgeschaut bei der Aufgabe:
Wie ist der Radius der Kugel M zu wählen, damit sie die Ebene E berührt?
Ist ja letztlich die gleiche Aufgabenstellung, nur dass man anstatt einer Ebene eine Geraden hat, aber das kann doch keinen Fehler verursachen oder?
Weil mein konkretes Problem ist, dass ich dieses Ergebnis mehrfach geprüft habe und es mit diesem Rechenweg eigentlich stimmen müsste, aber das Buch gibt einen anderen Lösungsweg vor und zwar, dass man die Geradengleichung:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 7 \\ -13} [/mm] + s [mm] \vektor{8 \\ 4 \\ -8}
[/mm]
in die Kreisgleichung einsetzt und dann mit der unbekannten r dem Radius das ganze durchrechnet, [mm] \vec{x} [/mm] steht dabei für den gemeinsamen Berührpunkt und am Ende erhält man:
( [mm] \vektor{1 \\ 7 \\ -13} [/mm] + s * [mm] \vektor{8 \\ 4 \\ -8} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 7} )^{2} [/mm] = r²
...
...
...
s = - [mm] \bruch{5}{4} [/mm] +/- [mm] \wurzel{\bruch{25}{16} - \bruch{450 - r²}{144}}
[/mm]
Mit folgender Überlegung:
Man will den Radius r so wählen, dass die Gerade eine Tangente an die Kugel ist, daher darf nur ein Berührpunkt herauskommen, d.h. der Term unter der Wurzel muss 0 ergeben.
=> r = 15
Super, aber mein Lösungsweg ist doch vom Prinzip her richtig, wieso krieg ich ein völlig anderes Ergebnis heraus, bitte um Erklärungen, Hilfestellungen, Hinweise auf Rechenfehler oder sonst was, bin irgendwie ziemlich verwirrt...
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Hallo!!!
Ich glaube dein problem ist ,dass man bei einer Gerade im Raum keine Hessesche Abstandsformle benutzen kann, da es keine eindeutigen Normalvektoren gibt bzw. unendlich viele!!!
Der Lösungsweg den das Buch vorschlägt ist gut und den würde ich auch nehmen!!
Du setzt einfach die Gerade in die Kreisgleichung ein,was so viel wie schneiden bedeutet und du willst ja nur einen schnittpunkt,nämlich den Berührpunkt!!
MFG daniel
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Was für mich dann aber unlogisch ist, dass wir die HNF auch zur Berechnung des Radius bei Kreis und Gerade verwendet haben ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 So 20.02.2005 | | Autor: | leduart |
> Was für mich dann aber unlogisch ist, dass wir die HNF auch
> zur Berechnung des Radius bei Kreis und Gerade verwendet
> haben ...
Hallo
Das war aber in der Ebene, da gibt es eine eindeutige Normale auf die Gerade in der Ebene! Eine Gerade im Raum ist senkrecht zu einer Ebene unddamit zu allen Geraden dieser Ebene.
Gruss leduart
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