Radizieren einer kplx Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] Z^3+8i=0 [/mm] |
Hallo,
Ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht klar.
Lösung soll sein:
[mm] z0=2*e^{i\bruch {\pi}{2}}
[/mm]
[mm] z1=2*e^{i\bruch {7\pi}{6}}
[/mm]
[mm] z2=2*e^{i\bruch {11\pi}{6}}
[/mm]
Der Radius ist mir vollkommen klar und auch die eigentlich die Formel zum radizieren.
In der Eulerschen Form hat meine zahl z die form:
[mm] 8*e^{i\bruch {\pi}{2}}
[/mm]
Die Winkel der radizierten kplx Zahl berechne ich wiefolgt:
[mm] Phi_{0}=\bruch {\bruch {\pi}{2}}{3} =\bruch{\pi}{6}
[/mm]
[mm] Phi_{1}=\bruch {\bruch {\pi}{2}+2*pi}{3}=\bruch{5\pi}{6}
[/mm]
[mm] Phi_{2}=\bruch {\bruch {\pi}{2}+4*pi}{3}=\bruch{9\pi}{6}
[/mm]
Vielleicht könnte mir jemand sagen wo mein denkfehler ist!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mo 30.06.2014 | | Autor: | rmix22 |
Stelle deine Gleichung [mm]\underline{Z}^3+8i=0[/mm] erste einmal um nach [mm]\underline{Z}^3=...[/mm].
Wie lautet der Rechtsterm nun genau und wie groß ist sein Argument?
Es ist nicht wie von dir angenommen [mm]+\frac{\pi}{2}[/mm]!
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Hallo,
> [mm]Z^3+8i=0[/mm]
> Hallo,
> Ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht klar.
> Lösung soll sein:
> [mm]z0=2*e^{i\bruch {\pi}{2}}[/mm]
> [mm]z1=2*e^{i\bruch {7\pi}{6}}[/mm]
>
> [mm]z2=2*e^{i\bruch {11\pi}{6}}[/mm]
> Der Radius ist mir vollkommen
> klar und auch die eigentlich die Formel zum radizieren.
> In der Eulerschen Form hat meine zahl z die form:
> [mm]8*e^{i\bruch {\pi}{2}}[/mm]
> Die Winkel der radizierten kplx
> Zahl berechne ich wiefolgt:
> [mm]Phi_{0}=\bruch {\bruch {\pi}{2}}{3} =\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
> [mm]Phi_{1}=\bruch {\bruch {\pi}{2}+2*pi}{3}=\bruch{5\pi}{6}[/mm]
>
> [mm]Phi_{2}=\bruch {\bruch {\pi}{2}+4*pi}{3}=\bruch{9\pi}{6}[/mm]
>
> Vielleicht könnte mir jemand sagen wo mein denkfehler ist!
Fehler bei der ersten Lösung. Deren Argument lautet [mm] \varphi_0=\pi/2. [/mm] Du musst allerdings in deine Formel korrekterweise [mm] \phi=\bruch{3\pi}{2} [/mm] einsetzen.
Das dreifache Argument einer jeden 3. Wurzel muss dem Argument des Radikanden plus einem ganzzahligen Vielfachen von [mm] 2\pi [/mm] entsprechen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > [mm]Z^3+8i=0[/mm]
> > Hallo,
> > Ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht klar.
> > Lösung soll sein:
> > [mm]z0=2*e^{i\bruch {\pi}{2}}[/mm]
> > [mm]z1=2*e^{i\bruch {7\pi}{6}}[/mm]
>
> >
> > [mm]z2=2*e^{i\bruch {11\pi}{6}}[/mm]
> > Der Radius ist mir
> vollkommen
> > klar und auch die eigentlich die Formel zum radizieren.
> > In der Eulerschen Form hat meine zahl z die form:
> > [mm]8*e^{i\bruch {\pi}{2}}[/mm]
> > Die Winkel der radizierten
> kplx
> > Zahl berechne ich wiefolgt:
> > [mm]Phi_{0}=\bruch {\bruch {\pi}{2}}{3} =\bruch{\pi}{6}[/mm]
> >
> > [mm]Phi_{1}=\bruch {\bruch {\pi}{2}+2*pi}{3}=\bruch{5\pi}{6}[/mm]
>
> >
> > [mm]Phi_{2}=\bruch {\bruch {\pi}{2}+4*pi}{3}=\bruch{9\pi}{6}[/mm]
>
> >
> > Vielleicht könnte mir jemand sagen wo mein denkfehler
> ist!
>
> Fehler beim Ansatz für die Winkel sowie bei der ersten
> Lösung. Diese lautet [mm]\varphi_0=\pi/2.[/mm] Weiter ist
> allgemein
dieses [mm] Phi_0 [/mm] war bereits in die Formel eingesetzt, jedoch hätte es hier [mm] -\frac{\pi}{2} [/mm] bzw. [mm] \frac{3\pi}{2} [/mm] im Zähler heißen müssen.
edit: wie auch bereits in der Antwort von rmix22 angemerkt wurde.
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Herby,
danke für deinen Hinweis. Ich rechne da etwas geometrischer und hatte eigentlich den kleinstmöglichen Winkel für die Wurzel gemeint, und der ist nun mal [mm] \pi/2.
[/mm]
Ich werde es oben vollends ausbessern.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Herby |
Salut,
gerne ![[tatue]](/images/smileys/tatue.gif "[tatue]")
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mo 30.06.2014 | | Autor: | rmix22 |
Ich weiß nicht ob ich da was falsch verstehe bei der laufenden Diskussion.
Soweit ich das sehe hat "Die-Ninni" bloß den Fehler gemacht, anstelle aus -8i aus +8i die dritte Wurzel zu ziehen. Das zeigt ihre Aussage
> In der Eulerschen Form hat meine zahl z die form:
> $ [mm] 8\cdot{}e^{i\bruch {\pi}{2}} [/mm] $
wobei ein Formalfehler darin besteht, dass das nicht ihre Zahl z sondern [mm] z^3 [/mm] ist.
Sie ist daher vom falschen Argument +pi/2 anstelle von -pi/2 oder 3pi/2 ausgegangen.
Der Rechenweg, die Anwendung der MOIVREschen Formel, etc. war ja alles richtig.
BTW, bei technischen Anwenungen ist es oft vorteilhafter, die Phase im Bereich -pi bis +pi zu belassen, so wie das die arg() Funktion in div. Mathesoftware macht oder auch die atan2 Funktion liefert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:58 Di 01.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Na dann passt's ja.
Hat für mich so ausgesehen als hätte Diophant einen Fehler bei der Anwendung des Moivre moniert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Di 01.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Na dann passt's ja.
> Hat für mich so ausgesehen als hätte Diophant einen
> Fehler bei der Anwendung des Moivre moniert.
>
und das hätte ich dann wo genau zum Ausdruck gebracht? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Di 01.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Hat für mich so ausgesehen als hätte Diophant einen
> > Fehler bei der Anwendung des Moivre moniert.
>
> und das hätte ich dann wo genau zum Ausdruck gebracht?
Dein erster Satz war
> > Fehler bei der ersten Lösung. Deren Argument lautet $ [mm] \varphi_0=\pi/2. [/mm] $
und da der Fehler ja nicht bei der ersten Lösung (natürlich war die auch falsch) sondern bereits früher passiert ist (falscher Radikand) hab ich das so interpretiert.
Bin mir nicht sicher ob dein nächster Satz
> > Du musst allerdings in deine Formel korrekterweise $ [mm] \phi=\bruch{3\pi}{2} [/mm] $ einsetzen.
ein (all zu sehr) dezenter Hinweis darauf sein sollte, dass sie die falsche Zahl "wurzelt". Zumal sie ja selbst nicht die unterschiedlichen Bezeichner $ [mm] \varphi [/mm] $ im Gegensatz zu $ [mm] \phi [/mm] $ verwendet hatte.
Aber jetzt sollte ja alles klar sein.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
- andere arbeiten lieber im anderen.
