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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mi 23.01.2008 | | Autor: | anti_88 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für beliebige Matrizen C,D [mm] \in K^{mxn} [/mm] gilt:
Rang (C+D) [mm] \le [/mm] Rang C + Rang D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Also ich weiß zwar dass es so ist, und am Besipiel sieht man es ja auch aber ich weiß nicht wirklich, wie ich das allgemein zeigen soll. Ich kann ja an einer beliebigen Matrix nicht erkennen, ob ihr Rang kleiner ist, als der einer anderen Matrix?
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} } [/mm] + [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\ ...\\ b_{m1} & b_{m2} & ... & b_{mn} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ... & a_{1n}+b_{1n} \\ ...\\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & ... & a_{mn}+b_{mn} }
[/mm]
Wie zeige ich denn jetzt, dass die Summe der Ränge der ersten und zweiten Matrix zusammen größer oder gleich dem Rang der aufsummierten Matrix ist?
Wär super wenn mir jemand n Ansatz geben könnte... ich hab irgendwie keine Ahnung und steh aufm Schlauch :)
lieben gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Do 24.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Tina!
Du hast dir das schon einmal gut aufgeschrieben! Ich kann dir mal ein beispiel zeigen wo die aussage zutrifft:
Man nehme jeweils 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrizen A und B. Setzte [mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und [mm] B=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] Der Rang der einzelnen Matrizen ist 1. Also 1+1=2. Nun addieren wir erst die Matrizen und dann er halten wir die Nullmatrix also Rang=0
[mm] \Rightarrow [/mm] rang(A+B) [mm] \le [/mm] rang(A) + rang(B) Ich weiss aber nicht ob du diese Argumentation auf m [mm] \times [/mm] n Matrizen übertragen kannst! deshalb lasse ich die frage mal auf halbbeantwortet.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Guten Tach.
Die Aussage [mm] \Rg(C+D)\le \Rg(A)+\Rg(B) [/mm] ist ja äquivalent mit der Aussage [mm] \dim \Im(A+B)\le \dim \Im(A) [/mm] + [mm] \dim \Im(B) [/mm] wobei A und B lineare Abbildungen vom [mm] \IR^n \rightarrow \IR^m [/mm] sind. Was man jetzt noch zeigen muss ist das der [mm] \ker(A+B)=\ker(A)+\ker(B) [/mm] ist. Dann kann man die Dimensionenformel verwenden [mm] \dim [/mm] V [mm] =\dim \ker [/mm] + [mm] \dim \Im. [/mm] Dann bekommst man die Aussage, unter beachtung das [mm] \dim \Im(A+B)\le m=\dim \IR^n [/mm]
Einen schönen Tach noch
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:00 Do 24.01.2008 | | Autor: | angela.h.b. |
> Die Aussage [mm]\Rg(C+D)\le \Rg(A)+\Rg(B)[/mm] ist ja äquivalent mit
> der Aussage [mm]\dim \Im(A+B)\le \dim \Im(A)[/mm] + [mm]\dim \Im(B)[/mm]
> wobei A und B lineare Abbildungen vom [mm]\IR^n \rightarrow \IR^m[/mm]
> sind. Was man jetzt noch zeigen muss ist das der
> [mm]\ker(A+B)=\ker(A)+\ker(B)[/mm] ist.
Hallo,
das wird nicht gelingen:
Sei [mm] A:=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, B:=A:=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]
Es ist Kern [mm] A=<\vektor{0 \\ 1}>, [/mm] Kern [mm] B=<\vektor{1 \\ 0}>,
[/mm]
Es ist jedoch Kern(A+B)=Kern [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=<\vektor{0 \\ 0}>
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
der Rang einer Matrix gibt ja die Anzahl der linear unabhängigen Spalten an.
Ich würde hier einen Beweis per Widerspruch versuchen:
Wenn Rang C=r und Rang D=s, so lassen sich ja alle Spalten v. C als Linearkombination v. r der Spalten v. C schreiben und alle Spalten v. D als Linearkombination v. s der Spalten v. D.
Nun nimm an, daß der Rang (C+D) größer ist als Rang C + Rang D.
Dann findest Du in C+D r+s+1 linear unabhängige Spalten. Versuch', das zu einem Widerspruch zu führen.
Gruß v. Angela
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