Ränge zweier Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A sei eine n x m Matrix und B eine m x s Matrix.
Beweise, dass Rang AB [mm] \le [/mm] min {Rang A, Rang B} ist |
Hallo Leute,
komme hier nicht wirklich weiter. Habe mir folgendes überlegt.
Man muss ja zwei Dinge zeigen:
i.) Rang AB [mm] \le [/mm] Rang A
ii.) Rang AB [mm] \le [/mm] Rang B
daraus kann man ja dann die zubeweisende Gleichung folgern oder?
Sei A = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{1m} \\ ... & ... \\ a_{n1 } & a_{nm}}
[/mm]
und
sei B= [mm] \pmat{ b_{11} & b_{1s} \\ ... & ... \\ b_{m1 } & b_{ms}}
[/mm]
Daraus habe ich dann für die beiden Matrizen Spaltenvektoren definiert.
a1 ist dann die erste Spalte von A, a2 wäre dann die zweite Spalte von A usw. bis am die letzte Spalte von A (= [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{m}).
[/mm]
Selbes Spiel dann für B. [mm] (b_{1},...,b_{m}).
[/mm]
Nur wie bestimme ich jetzt die Ränge?
zu i.) folgender Ansatz:
(a1,...,am) * [mm] \pmat{ b_{11} & b_{1s} \\ ... & ... \\ b_{m1 } & b_{ms}}=
[/mm]
[mm] \pmat{ a_{1}b_{11} & a_{m}b_{1s} \\ ... & ... \\ a_{1} b_{m1 } & a_{m}b_{ms}}
[/mm]
Ist dies jetzt größer oder kleiner als der der Rang von A?
Was muss ich jetzt machen?
Ich hoffe ich konnte es begreiflich erklären, falls jemand ne andere Beweisidee hat, einfach melden .
MfG
Damien
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Fr 30.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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