Rätselhaftes Stetigkeitsverhal < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
ich hab gerad ein bisschen geschaut, welche Eigentschaften die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge hat.
Und nun habe ich folgende, mir komisch vorkommene Funktionenfolge gebastelt - ich kann nämlich nicht sagen, ob sie stetig ist oder nicht.
Und zwar:
[mm] $$f_n(x):=1/\ln(n)\cdot e^{-n^2x^2}\;\rightrightarrows\;f=0$$
[/mm]
die Funktion konvergiert einerseits gleichmäßig gegen die Nullfunktion auf ganz [mm] $\mathbb [/mm] R$, denn es gibt immer einen maximalen Abstand bei $x=0$, der jedoch ebenfalls gegen Null geht.
Andererseits wird das Änderungsverhalten immer stärker, die Extrema der Ableitung liegen bei [mm] $H=(1/(\sqrt(2)\cdot n\; ,\;n\sqrt(2)e^{-1/2}/\ln(n))$ [/mm] (Tiefpunkt ursprungssymmetrisch dazu), so dass für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] bei $x=0$ eine Stelle mit unendlich großer (positiver oder negativer) steigung anliegen müsste.
Ist $f$ nun trotzdem stetig? Freue mich sehr über Hilfe!
Vielen Dank,
Lorenz
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mo 25.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
stetige Kurven können beliebig "rumzacken", sogar nicht nur in einem Punkt, sondern in unendlich vielen. guck dir mal irgendwo die Kochsche Kurve an!
Stetig in der Schule heisst meist schön glatt, oder "man kann sie mit nem Stift ununterbrochen zeichnen" Das ist aber nicht die def. der Stetigkeit.
eine weiter beliebig schwankende Kurve hast du mit x*sin(1/x) wieder bei x=0
Allerdings seh ich bei deiner Kurve nicht, dass sie so schwankt. die steigung ist doch für x>0 immer negativ? für x>o immer positiv. ich seh da keine Tief und Hochpunkte.
(einziger HP bei x=0)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo leduart,
danke für die schnelle Reaktion. Also das Stetigkeit sehr abgefahren sein kann, wie z.B. bei der Weierstraßfktn, ist mir bekannt.
Mein Problem hier ist, dass die Grenzfunktion $f$ bei $x=0$ eine unendliche Steigung hat und man diesen Punkt $(x, f(x))$ doch zumindest mal skeptisch betrachten muss - und ich suche eben eine Begründung, warum man $f$ trotzdem als glatte, Nullfunktion ansehen darf, wie man also den "Konflikt" mit der unendlichen Steigung entschärfen kann.
Herzlichen Gruß,
Lorenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 29.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
