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Hallo,
es geht darum die Geschwindigkeit einer Rakete, welche mit konstanter Geschwindigkeit Gas ausstößt (Masseänderung konstant), zu bestimmen. Vom Prinzip her ist mir alles klar, ich habe nur ein Problem damit den Impuls des Gases aufzustellen. Oder besser gesagt, ich finde meinen Fehler nicht, aber scheinbar muss einer drin sein, denn weder meine Geschwindigkeit kommt hin, noch stimmt mein Impuls des Gases mit der Literatur überein.
Hier also mein Weg, es wäre nett, wenn jemand mir sagen kann wo der Fehler liegt:
Die Masseänderung der Rakete pro Zeit ist konstant [mm] -\gamma
[/mm]
Folglich ist die Masse des Gases [mm] \gamma*t
[/mm]
Das Gas wird mit konstanter Geschwindigkeit [mm] \delta [/mm] relativ zur Rakete ausgestoßen. Von einem Inertialsystem aus betrachtet hat es somit die geschwindigkeit [mm] v_{gas}=-\delta+v_{rak}
[/mm]
Somit ergibt sich für den Impuls des Gases:
[mm] p_{gas}=m_{gas}*v_{gas}=\gamma*t*(-\delta+v_{rak})
[/mm]
somit ergibt sich für die Zeitliche Ableitung des Gasimpulses:
[mm] \bruch{d}{dt}p_{gas}=\gamma*(-\delta+v_{rak})+\gamma*t(\bruch{d}{dt}v_{rak})
[/mm]
So weit hatte ich das jetzt hergeholt. In der Literatur wird die zeitliche Änderung des Impulses aber mit:
[mm] \bruch{d}{dt}p_{gas}=\gamma*(-\delta+v_{rak})
[/mm]
angegeben, also quasi genau das was ich auch hatte, aber ohne den zweiten Teil der Summe. Und ich verstehe partout nicht, wieso der verschwinden soll.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Basti
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Hallo Basti,
der Fehler liegt noch vor dem Ableiten:
> es geht darum die Geschwindigkeit einer Rakete, welche mit
> konstanter Geschwindigkeit Gas ausstößt (Masseänderung
> konstant), zu bestimmen. Vom Prinzip her ist mir alles
> klar, ich habe nur ein Problem damit den Impuls des Gases
> aufzustellen. Oder besser gesagt, ich finde meinen Fehler
> nicht, aber scheinbar muss einer drin sein, denn weder
> meine Geschwindigkeit kommt hin, noch stimmt mein Impuls
> des Gases mit der Literatur überein.
>
> Hier also mein Weg, es wäre nett, wenn jemand mir sagen
> kann wo der Fehler liegt:
>
> Die Masseänderung der Rakete pro Zeit ist konstant [mm]-\gamma[/mm]
> Folglich ist die Masse des Gases [mm]\gamma*t[/mm]
Das ist die Masse des insgesamt zur Zeit t ausgestoßenen Gases.
> Das Gas wird mit konstanter Geschwindigkeit [mm]\delta[/mm] relativ
> zur Rakete ausgestoßen. Von einem Inertialsystem aus
> betrachtet hat es somit die geschwindigkeit
> [mm]v_{gas}=-\delta+v_{rak}[/mm]
>
> Somit ergibt sich für den Impuls des Gases:
>
> [mm]p_{gas}=m_{gas}*v_{gas}=\gamma*t*(-\delta+v_{rak})[/mm]
Stopp. Das gilt nur für infinitesimal kleines t, also dt. Es gilt aber keineswegs für den Gesamtimpuls des bisher ausgestoßenen Gases zur Zeit t.
Korrekt wäre also:
[mm] dp_{gas}=\gamma*dt*(-\delta+v_{rak})
[/mm]
- und das ist ja schon fast die gesuchte Gleichung.
> somit ergibt sich für die Zeitliche Ableitung des
> Gasimpulses:
>
> [mm]\bruch{d}{dt}p_{gas}=\gamma*(-\delta+v_{rak})+\gamma*t(\bruch{d}{dt}v_{rak})[/mm]
>
> So weit hatte ich das jetzt hergeholt. In der Literatur
> wird die zeitliche Änderung des Impulses aber mit:
>
> [mm]\bruch{d}{dt}p_{gas}=\gamma*(-\delta+v_{rak})[/mm]
>
> angegeben, also quasi genau das was ich auch hatte, aber
> ohne den zweiten Teil der Summe. Und ich verstehe partout
> nicht, wieso der verschwinden soll.
>
> Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Grüße
reverend
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Hallo reverent,
ich habe da noch eine Nachfrage:
> > Das Gas wird mit konstanter Geschwindigkeit [mm]\delta[/mm] relativ
> > zur Rakete ausgestoßen. Von einem Inertialsystem aus
> > betrachtet hat es somit die geschwindigkeit
> > [mm]v_{gas}=-\delta+v_{rak}[/mm]
> >
> > Somit ergibt sich für den Impuls des Gases:
> >
> > [mm]p_{gas}=m_{gas}*v_{gas}=\gamma*t*(-\delta+v_{rak})[/mm]
>
> Stopp. Das gilt nur für infinitesimal kleines t, also dt.
> Es gilt aber keineswegs für den Gesamtimpuls des bisher
> ausgestoßenen Gases zur Zeit t.
> Korrekt wäre also:
>
> [mm]dp_{gas}=\gamma*dt*(-\delta+v_{rak})[/mm]
>
> - und das ist ja schon fast die gesuchte Gleichung.
Wieso gilt dies nur für dt? Ich sehe den Grund dafür noch nicht, alles andere ist dann natürlich klar.
Basti
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Hallo,
[mm] \gamma{t} [/mm] gibt hier die Menge des insgesamt ausgestoßenen Gases an. Darauf kannst Du doch nicht die aktuelle Raketengeschwindigkeit anwenden, um den Gesamtimpuls zu berechnen.
[mm] \gamma*{dt} [/mm] gibt dagegen die aktuelle Menge des ausgestoßenen Gases an. Damit, und mit der Momentangeschwindigkeit, kannst Du den aktuellen Impulszuwachs bestimmen.
Die eigentlich zugrundeliegende Gleichung ist dp=dm*v=m*dv
Vergleiche das mal mit einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Da ist zwar v(t)=a*t und generell gilt auch ds=v*dt. Deswegen ist aber noch lange nicht [mm] s(t)=v(t)*t=at^2. [/mm] Du erinnerst Dich sicher...
Wenn die Beschleunigung aber nicht gleichmäßig ist, dann ist sowieso nur noch per Differenzialgleichung vorzugehen und das Ergebnis eben nicht einmal mehr [mm] s(t)=\bruch{1}{2}at^2
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Do 03.11.2011 | | Autor: | bekderbaum |
alles klar danke. Ich denke, dass ich das ganze damit nun lösen kann.
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