Rand einer Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 So 03.07.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo liebe Matheräumler,
keine Angst ich hab nicht vor euch heute mit Fragen zu überschütten,
aber ich bin halt nun mal in der Klausurvorbereitung. Und da tauchen schon mal ein paar Fragen auf  .
Es geht um folgende Aufgabe:
Sei [mm] A:=\{x \in \IR^n : ||x|| \le 1 \}. [/mm] Berechnen Sie [mm] A\ \partial A [/mm]
Ich denke es ist relativ schnell klar, was der Rand der oben definierten Menge sein müsste. Nämlich:
[mm] \parial A= \{x \in \IR^n : ||x||=1 \}=:B [/mm]
Ich möchte die behauptete Mengengleichheit, durch zwei Inklusionen zeigen: [mm] B \subset \partial A [/mm] und [mm] \partial A \subset B[/mm]
1. [mm] B \subset \partial A [/mm]
Sei [mm]x \in B[/mm]. [mm] \Rightarrow ||x||=1 \Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists x_1, x_2 \in B_{ \varepsilon}(x): ||x_1|| < 1[/mm] und [mm] ||x_2||>1[/mm] [mm] \Rightarrow x \in \partial A[/mm]
2. [mm] \partial A \subset B[/mm]
Sei [mm] x \in \partial A \Rightarrow \forall \varepsilon > 0 [/mm] [mm] \exists x_1, x_2 \in B_{ \varepsilon}(x): x_1 \in A[/mm] also [mm] ||x_1|| \ge 1[/mm] und [mm] x_2 \in X[/mm] ohne [mm] A, [/mm] also [mm] ||x_2||>1[/mm] [mm] \Rightarrow ||x||=1 \Rightarrow x \in B[/mm]
So, was sagt ihr dazu? Ein richtiger Beweis war das ja jetzt nicht, oder ?
Na ja .. ich würde mich freuen wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andi!
Ich will dir mal dabei helfen, das Ganze etwas sauberer zu beweisen.
> 1. [mm]B \subset \partial A[/mm]
> Sei [mm]x \in B[/mm]. [mm]\Rightarrow ||x||=1 \Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists x_1, x_2 \in B_{ \varepsilon}(x): ||x_1|| < 1[/mm]
> und [mm]||x_2||>1[/mm] [mm]\Rightarrow x \in \partial A[/mm]
Dies könnte man vielleicht so machen:
Es gilt: [mm] $x_1:=\left(1 - \frac{\varepsilon}{2} \right)x \in B_{\varepsilon}(x)$ [/mm] und [mm] $x_2:=\left( 1 + \frac{\varepsilon}{2} \right)x \in B_{\varepsilon}(x)$ [/mm] mit [mm] $\Vert x_1 \Vert [/mm] = [mm] 1-\frac{\varepsilon}{2}<1$ [/mm] und [mm] $\Vert x_2 \Vert [/mm] = 1 + [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] >1$.
> 2. [mm]\partial A \subset B[/mm]
> Sei [mm]x \in \partial A \Rightarrow \forall \varepsilon > 0[/mm]
> [mm]\exists x_1, x_2 \in B_{ \varepsilon}(x): x_1 \in A[/mm] also
> [mm]||x_1|| \ge 1[/mm] und [mm]x_2 \in X[/mm] ohne [mm]A,[/mm] also [mm]||x_2||>1[/mm]
> [mm]\Rightarrow ||x||=1 \Rightarrow x \in B[/mm]
Hier würde ich so argumentieren. Angenommen es wäre [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] >1$. Da die Norm eine stetige Abbildung darstellt, gäbe es dann ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass für alle $y [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit [mm] $\Vert [/mm] y-x [mm] \Vert [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt: [mm] $|\Vert x\Vert [/mm] - [mm] \vert [/mm] y [mm] \Vert| [/mm] < [mm] \frac{ \Vert x \Vert-1}{2}$, [/mm] also auch [mm] $\Vert [/mm] y [mm] \Vert>1$. [/mm] Dann aber wäre $x [mm] \notin \partial [/mm] A$, denn es gibt eine Umgebung von $x$, in der kein Element von $A$ liegt, im Widerspruch zur Voraussetzung. Ebenso zeigt man, dass die Annahme [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert<1$ [/mm] zum Widerspruch führt. Also muss [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert=1$ [/mm] gelten.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Andi |
Lieber Stefan,
> Ich will dir mal dabei helfen, das Ganze etwas sauberer zu
> beweisen.
Das finde ich sehr nett .
> > 1. [mm]B \subset \partial A[/mm]
> > Sei [mm]x \in B[/mm]. [mm]\Rightarrow ||x||=1 \Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists x_1, x_2 \in B_{ \varepsilon}(x): ||x_1|| < 1[/mm]
> > und [mm]||x_2||>1[/mm] [mm]\Rightarrow x \in \partial A[/mm]
>
> Dies könnte man vielleicht so machen:
>
> Es gilt: [mm]x_1:=\left(1 - \frac{\varepsilon}{2} \right)x \in B_\varepsilon}(x)[/mm]
> und [mm]x_2:=\left( 1 + \frac{\varepsilon}{2} \right)x \in B_{\varepsilon}(x)[/mm]
> mit [mm]\Vert x_1 \Vert = 1-\frac{\varepsilon}{2}<1[/mm] und [mm]\Vert x_2 \Vert = 1 + \frac{\varepsilon}{2} >1[/mm].
Ja das gefällt mir sehr gut. Dann hat man [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gleich dort stehen.
> > 2. [mm]\partial A \subset B[/mm]
> > Sei [mm]x \in \partial A \Rightarrow \forall \varepsilon > 0[/mm]
> > [mm]\exists x_1, x_2 \in B_{ \varepsilon}(x): x_1 \in A[/mm] also
> > [mm]||x_1|| \ge 1[/mm] und [mm]x_2 \in X[/mm] ohne [mm]A,[/mm] also [mm]||x_2||>1[/mm]
> > [mm]\Rightarrow ||x||=1 \Rightarrow x \in B[/mm]
>
> Hier würde ich so argumentieren. Angenommen es wäre [mm]\Vert x \Vert >1[/mm].
> Da die Norm eine stetige Abbildung darstellt, gäbe es dann
> ein [mm]\delta>0[/mm], so dass für alle [mm]y \in \IR^n[/mm] mit [mm]\Vert y-x \Vert < \delta[/mm]
> gilt: [mm]|\Vert x\Vert - \vert y \Vert| < \frac{1- \Vert x \Vert}{2}[/mm],
Hier verstehe ich nicht wie du auf die Rechte Seite der Ungleichung kommst. Hast du dein Epsilon etwa so definiert:[mm] \varepsilon:=\frac{1- \Vert x \Vert}{2}[/mm]??
Wenn ja dann geht das aber meiner Meinung nach nicht, denn da ||1||>1 ist wäre [mm]\frac{1- \Vert x \Vert}{2}<0[/mm].
> also auch [mm]\Vert y \Vert>1[/mm]. Dann aber wäre [mm]x \notin \partial A[/mm],
> denn es gibt eine Umgebung von [mm]x[/mm], in der kein Element von [mm]A[/mm]
> liegt, im Widerspruch zur Voraussetzung. Ebenso zeigt man,
> dass die Annahme [mm]\Vert x \Vert<1[/mm] zum Widerspruch führt.
> Also muss [mm]\Vert x \Vert=1[/mm] gelten.
Liebe Grüße,
Andi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andi!
> > > 2. [mm]\partial A \subset B[/mm]
> > > Sei [mm]x \in \partial A \Rightarrow \forall \varepsilon > 0[/mm]
> > > [mm]\exists x_1, x_2 \in B_{ \varepsilon}(x): x_1 \in A[/mm] also
> > > [mm]||x_1|| \ge 1[/mm] und [mm]x_2 \in X[/mm] ohne [mm]A,[/mm] also [mm]||x_2||>1[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow ||x||=1 \Rightarrow x \in B[/mm]
> >
> > Hier würde ich so argumentieren. Angenommen es wäre [mm]\Vert x \Vert >1[/mm].
> > Da die Norm eine stetige Abbildung darstellt, gäbe es dann
> > ein [mm]\delta>0[/mm], so dass für alle [mm]y \in \IR^n[/mm] mit [mm]\Vert y-x \Vert < \delta[/mm]
> > gilt: [mm]|\Vert x\Vert - \vert y \Vert| < \frac{1- \Vert x \Vert}{2}[/mm],
>
> Hier verstehe ich nicht wie du auf die Rechte Seite der
> Ungleichung kommst. Hast du dein Epsilon etwa so definiert:[mm] \varepsilon:=\frac{1- \Vert x \Vert}{2}[/mm]??
Ich meinte [mm] $\frac{\Vert x \Vert -1}{2}$. [/mm] (Habe ich jetzt auch verbessert...)
Es war deswegen falsch, weil ich zunächst den Fall [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] <1$ behandelt hatte (dann aber während des Beweis sah, dass der Fall [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] >1$ schöner war. 
Ist jetzt alles klar?
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Andi |
Lieber Stefan!
> Ich meinte [mm]\frac{\Vert x \Vert -1}{2}[/mm]. (Habe ich jetzt auch
> verbessert...)
>
> Es war deswegen falsch, weil ich zunächst den Fall [mm]\Vert x \Vert <1[/mm]
> behandelt hatte (dann aber während des Beweis sah, dass der
> Fall [mm]\Vert x \Vert >1[/mm] schöner war.
>
> Ist jetzt alles klar?
Jetzt ist alles klar. Ich hab mir schon so etwas gedacht, aber wenn man sich eh ein wenig unsicher ist fragt man lieber nochmal nach.
Vielen Dank.
Liebe Grüße,
Andi
|
|
|
|
