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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Randwertaufgaben
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Randwertaufgaben: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 Di 04.12.2012
Autor: DudiPupan

Aufgabe
Lösen Sie die folgenden Randwertaufgaben:
a) [mm] $u''+t^2=0, \quad u(0)=0,\quad [/mm] u'(1)=1$
b) [mm] $u''-u'-2u=0,\quad u(0)+u'(0)=1,\quad [/mm] u(1)=0$

Guten Abend,

ich sitze gerad an diese Aufgabe und weiß nicht wie anfangen.

Mir würde es sehr helfen, wenn mir jemand einen Tipp gibt, eventuell einen Satz, mit dem ich das lösen kann oder ähnliches.

Vielen Dank

Liebe Grüße
DudiPupan

        
Bezug
Randwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 Di 04.12.2012
Autor: leduart

Hallo
die erste Aufgabe ' einfach 2 mal integrieren, die Konstanten dabei nicht vergessen, dann die Randbed. einsetzen um die 2 konstanten zu bestimmen-
die 2 te Aufgabe mit dem Ansatz [mm] u=e^{\lambda*t} [/mm] lösen
die 2 [mm] \lambda [/mm] bestimmen [mm] u=C_1e^{\lambda_1*t}+C2*e^{\lambda_2*t} [/mm]
und wieder die 2 Lonstanten bestimmen
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Randwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:54 Mi 05.12.2012
Autor: DudiPupan

Hallo leduart,

vielen vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe direkt versucht deine Tipps umzusetzen:

Also für die a):
[mm] $u''(t)=-t^2$ [/mm]
[mm] $\int{u''(t)\;dt}=-\frac{1}{3}t^3+C_1=u'(t)$ [/mm]
[mm] $\int{u'(t)\;dt}=-\frac{1}{12}t^4+C_1*t+C_2$ [/mm]
Mit den Bedingungen:
[mm] $u'(1)=-\frac{1}{3}+C_1=0 \Leftrightarrow C_1=\frac{1}{3}$ [/mm]
[mm] $u(0)=C_2=0$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow u(t)=-\frac{1}{12}*t^4+\frac{1}{3}*t$ [/mm]

Und für die b):

Mit dem Ansatz [mm] $u(t)=e^{\lambda*t}$: [/mm]
[mm] $u'(t)=\lambda*e^{\lambda*t}$ [/mm]
[mm] $u''(t)=\lambda^2*e^{\lambda*t}$ [/mm]
[mm] $u''(t)-u'(t)-2*u(t)=(\lambda^2-\lambda-2)*e^{\lambda*t}=0\Leftrightarrow (\lambda^2-\lambda-2)=0$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda_1=-1,\; \lambda_2=2$ [/mm]
Somit erhalten wir die Allgemeine Lösung:
[mm] $u(t)=C_1*e^{-t}+C_2*e^{2*t}$ [/mm]
Mit den Bedingungen:
[mm] $u(0)+u'(0)=3C_2=1\Leftrightarrow C_2=\frac{1}{3}$ [/mm]
[mm] $u(1)=C_1*e^{-1}+\frac{1}{3}*e^2=0\Leftrightarrow C_1=-\frac{1}{3}*e^3$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow u(t)=\frac{1}{3}*e^{2*t}-\frac{1}{3}*e^{3-t}$ [/mm]

Ist das in Ordnung so?

Ist das dann komplett?
Scheint mir fast etwas einfach ;)
Und irgendwelche Eigenschaften, dass das Anwenden dieser Methoden erlaubt muss ich auch nicht nachweisen?

Vielen vielen Dank

Liebe Grüße
Dudi

Bezug
                        
Bezug
Randwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:08 Mi 05.12.2012
Autor: fred97


> Hallo leduart,
>  
> vielen vielen Dank für deine Antwort.
>  Ich habe direkt versucht deine Tipps umzusetzen:
>  
> Also für die a):
>  [mm]u''(t)=-t^2[/mm]
>  [mm]\int{u''(t)\;dt}=-\frac{1}{3}t^3+C_1=u'(t)[/mm]
>  [mm]\int{u'(t)\;dt}=-\frac{1}{12}t^4+C_1*t+C_2[/mm]
>  Mit den Bedingungen:
>  [mm]u'(1)=-\frac{1}{3}+C_1=0 \Leftrightarrow C_1=\frac{1}{3}[/mm]
>  
> [mm]u(0)=C_2=0[/mm]
>  [mm]\Rightarrow u(t)=-\frac{1}{12}*t^4+\frac{1}{3}*t[/mm]
>  
> Und für die b):
>  
> Mit dem Ansatz [mm]u(t)=e^{\lambda*t}[/mm]:
>  [mm]u'(t)=\lambda*e^{\lambda*t}[/mm]
>  [mm]u''(t)=\lambda^2*e^{\lambda*t}[/mm]
>  
> [mm]u''(t)-u'(t)-2*u(t)=(\lambda^2-\lambda-2)*e^{\lambda*t}=0\Leftrightarrow (\lambda^2-\lambda-2)=0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=-1,\; \lambda_2=2[/mm]
>  Somit erhalten wir
> die Allgemeine Lösung:
>  [mm]u(t)=C_1*e^{-t}+C_2*e^{2*t}[/mm]
>  Mit den Bedingungen:
>  [mm]u(0)+u'(0)=3C_2=1\Leftrightarrow C_2=\frac{1}{3}[/mm]
>  
> [mm]u(1)=C_1*e^{-1}+\frac{1}{3}*e^2=0\Leftrightarrow C_1=-\frac{1}{3}*e^3[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow u(t)=\frac{1}{3}*e^{2*t}-\frac{1}{3}*e^{3-t}[/mm]
>  
> Ist das in Ordnung so?

Ja


>  
> Ist das dann komplett?

Ja


>  Scheint mir fast etwas einfach ;)
>  Und irgendwelche Eigenschaften, dass das Anwenden dieser
> Methoden erlaubt muss ich auch nicht nachweisen?


Hattet Ihr denn diese Methoden nicht behandelt ?

FRED

>  
> Vielen vielen Dank
>  
> Liebe Grüße
>  Dudi


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