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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Di 01.12.2009 | | Autor: | Ikit |
| Aufgabe | Es soll für [mm] \alpha \in \IC \setminus{0} [/mm] eine Lösung des Randwertproblems
y'' = [mm] \alpha^{2}y [/mm] ; y'(0) = 1 ; y'(1) = 0
auf [0,1] gefunden werden. Bestimmen Sie dazu zunächst für beliebiges C [mm] \in \IC [/mm] die Lösung des Hilfsproblems:
y'' = [mm] \alpha^{2}y [/mm] ; y(0) = C ; y'(0) = 1 mit dem Ansatz y = [mm] e^{\lambda t}
[/mm]
a) Welche [mm] \lambda \in \IC [/mm] lösen y'' = [mm] \alpha^{2}y?
[/mm]
b) Kombinieren Sie diese zu einer Lösung des Hilfsproblems
c) Bestimmen Sie C so, dass sich die Lösung ergibt |
Hab mit dem Ansatz herausgefunden, dass [mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm \alpha [/mm] ist.
Geh ich jetzt richtig in der Annahme, dass es sich hier im eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten handelt? D.h. die Nullstellen des charakteristischen Polynoms wären [mm] \pm \alpha \in \IC [/mm] . Was sind dazu aber die Basislösungen und wie mach ich dann weiter?
Oder bin ich hier komplett auf dem Holzweg?
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Hallo Ikit,
> Es soll für [mm]\alpha \in \IC \setminus{0}[/mm] eine Lösung des
> Randwertproblems
> y'' = [mm]\alpha^{2}y[/mm] ; y'(0) = 1 ; y'(1) = 0
> auf [0,1] gefunden werden. Bestimmen Sie dazu zunächst
> für beliebiges C [mm]\in \IC[/mm] die Lösung des Hilfsproblems:
>
> y'' = [mm]\alpha^{2}y[/mm] ; y(0) = C ; y'(0) = 1 mit dem Ansatz y =
> [mm]e^{\lambda t}[/mm]
>
> a) Welche [mm]\lambda \in \IC[/mm] lösen y'' = [mm]\alpha^{2}y?[/mm]
> b) Kombinieren Sie diese zu einer Lösung des
> Hilfsproblems
> c) Bestimmen Sie C so, dass sich die Lösung ergibt
> Hab mit dem Ansatz herausgefunden, dass [mm]\lambda[/mm] = [mm]\pm \alpha[/mm]
> ist.
> Geh ich jetzt richtig in der Annahme, dass es sich hier im
> eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten handelt? D.h.
Die Annahme ist richtig.
> die Nullstellen des charakteristischen Polynoms wären [mm]\pm \alpha \in \IC[/mm]
> . Was sind dazu aber die Basislösungen und wie mach ich
> dann weiter?
Komplexe Basislösungen sind
[mm]e^{\alpha*t}, e^{-\alpha*t}[/mm]
Dies führt auf die reellen Basislösungen
[mm]e^{\operatorname{Re} \alpha * t}*\sin\left(\operatorname{Im}\alpha*t\right), e^{\operatorname{Re} \alpha * t}*\cos\left(\operatorname{Im}\alpha*t\right)[/mm]
> Oder bin ich hier komplett auf dem Holzweg?
Setze jetzt die Anfangsbedingungen ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Di 01.12.2009 | | Autor: | Ikit |
D.h. ich komme zu einer Lösungsbasis:
y(t) = [mm] k_{1} e^{\operatorname{Re} \alpha \cdot{} t}\cdot{}\sin\left(\operatorname{Im}\alpha\cdot{}t\right) [/mm] + [mm] k_{2} e^{\operatorname{Re} \alpha \cdot{} t}\cdot{}\cos\left(\operatorname{Im}\alpha\cdot{}t\right) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y(0) = [mm] k_{1} [/mm] = C
y'(0) = C Re [mm] \alpha [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] Im [mm] \alpha [/mm] = 1
Ist das soweit richtig? Jetzt komm ich aber nicht mehr weiter. Muss ich denn jetzt nach [mm] k_{2} [/mm] auflösen und dann in y(t) einsetzen? Mir kommt die Lösung schon etwas komisch und lang vor.
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Hallo Ikit,
> D.h. ich komme zu einer Lösungsbasis:
>
> y(t) = [mm]k_{1} e^{\operatorname{Re} \alpha \cdot{} t}\cdot{}\sin\left(\operatorname{Im}\alpha\cdot{}t\right)[/mm]
> + [mm]k_{2} e^{\operatorname{Re} \alpha \cdot{} t}\cdot{}\cos\left(\operatorname{Im}\alpha\cdot{}t\right)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y(0) = [mm]k_{1}[/mm] = C
>
> y'(0) = C Re [mm]\alpha[/mm] + [mm]k_{2}[/mm] Im [mm]\alpha[/mm] = 1
>
> Ist das soweit richtig? Jetzt komm ich aber nicht mehr
> weiter. Muss ich denn jetzt nach [mm]k_{2}[/mm] auflösen und dann
> in y(t) einsetzen? Mir kommt die Lösung schon etwas
> komisch und lang vor.
Auf die reellen Lösungen kommst Du, wenn in der Lösung
[mm]y\left(t\right)=c_{1}*e^{\alpha*t}+c_{2}*e^{-\alpha*t}[/mm]
[mm]c_{2}=\overline{c_{1}}[/mm]
gewählt wird.
Da hier [mm]C \in \IC[/mm] ist hier zunächst mit
der komplexen Lösung zu beginnen. Damit gestaltet
sich die Ableitung besonders einfach, und die Kontanten
können daraus leicht bestimmt werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Ikit |
Mit y(t) = [mm] c_{1} e^{\alpha t} [/mm] + [mm] c_{2} e^{-\alpha t} [/mm] komm ich dann auf:
y(0) = [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] = C
y'(t) = [mm] \alpha c_{1} e^{\alpha t} [/mm] - [mm] \alpha c_{2} e^{-\alpha t}
[/mm]
y'(0) = [mm] \alpha c_{1} [/mm] - [mm] \alpha c_{2} [/mm] = 1
Damit kann ich die Konstanten so bestimmen:
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (C + [mm] \bruch{1}{\alpha})
[/mm]
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (C - [mm] \bruch{1}{\alpha})
[/mm]
Wenn ich jetzt noch die zusätzliche Bedingung y'(1) = 0 dazu nehme, kann ich C bestimmen (Teilaufgabe c):
y'(1) = [mm] \bruch{1}{2} e^{\alpha}(\alpha [/mm] C + 1) - [mm] \bruch{1}{2} e^{-\alpha}(\alpha [/mm] C - 1) = 0
Nach C aufgelöst:
C = [mm] \bruch{e^{\alpha} + e^{-\alpha}}{\alpha(e^{-\alpha} - e^{\alpha})}
[/mm]
Ist das alles richtig so? Kommt mir doch etwas kompliziert vor alles.
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Hallo Ikit,
> Mit y(t) = [mm]c_{1} e^{\alpha t}[/mm] + [mm]c_{2} e^{-\alpha t}[/mm] komm
> ich dann auf:
>
> y(0) = [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] = C
> y'(t) = [mm]\alpha c_{1} e^{\alpha t}[/mm] - [mm]\alpha c_{2} e^{-\alpha t}[/mm]
>
> y'(0) = [mm]\alpha c_{1}[/mm] - [mm]\alpha c_{2}[/mm] = 1
>
> Damit kann ich die Konstanten so bestimmen:
>
> [mm]c_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (C + [mm]\bruch{1}{\alpha})[/mm]
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (C - [mm]\bruch{1}{\alpha})[/mm]
>
> Wenn ich jetzt noch die zusätzliche Bedingung y'(1) = 0
> dazu nehme, kann ich C bestimmen (Teilaufgabe c):
>
> y'(1) = [mm]\bruch{1}{2} e^{\alpha}(\alpha[/mm] C + 1) -
> [mm]\bruch{1}{2} e^{-\alpha}(\alpha[/mm] C - 1) = 0
>
> Nach C aufgelöst:
>
> C = [mm]\bruch{e^{\alpha} + e^{-\alpha}}{\alpha(e^{-\alpha} - e^{\alpha})}[/mm]
>
> Ist das alles richtig so? Kommt mir doch etwas kompliziert
> vor alles.
Das stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du kannst allerdings noch versuchen, C umzuschreiben.
Gruss
MathePower
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