Randwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mo 23.01.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Ranwertproblem mit Hilfe der folgenden Lösung:
u(r, [mm] \phi)=\summe_{n=0}^{\infty}r^n(A_{n}cos (n*\phi)+B_{n}sin (n*\phi))
[/mm]
[mm] \Delta [/mm] u(r, [mm] \phi)=0
[/mm]
u(2, [mm] \phi)=4sin^3 \phi [/mm] mit [mm] \phi \in [0,2\pi]
[/mm]
Hinweis:Verwenden Sie geeignete Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen. |
Hallo, bei der Aufgabe fehlt mir irgendwie jeglicher Ansatz...
Hat jemand nen Denkanstoß für mich?
Gruß David
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Hallo David90,
> Lösen Sie das folgende Ranwertproblem mit Hilfe der
> folgenden Lösung:
> u(r, [mm]\phi)=\summe_{n=0}^{\infty}r^n(A_{n}cos (n*\phi)+B_{n}sin (n*\phi))[/mm]
>
> [mm]\Delta[/mm] u(r, [mm]\phi)=0[/mm]
> u(2, [mm]\phi)=4sin^3 \phi[/mm] mit [mm]\phi \in [0,2\pi][/mm]
>
> Hinweis:Verwenden Sie geeignete Additionstheoreme der
> trigonometrischen Funktionen.
> Hallo, bei der Aufgabe fehlt mir irgendwie jeglicher
> Ansatz...
> Hat jemand nen Denkanstoß für mich?
Zeige, daß die angebene Lösung eine Lösung von
[mm]\Delta[/mm] u(r, [mm]\phi)=0[/mm]
ist.
Dabei [mm]\Delta[/mm] der Laplace-Operator in Polarkoordinaten.
Verwende dann die Bedingung [mm]u(2, \phi)[/mm]
um die Lösung [mm]u(r,\phi)[/mm] zu ermitteln.
Für ein geeignetes Additionstheorem siehe ![[]](/images/popup.gif) Formelsammlung Trigonometrie.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 23.01.2012 | | Autor: | David90 |
ok...wie zeige ich denn, dass die angegebene Lösung eine Lösung von [mm] \Delta [/mm] u(r, [mm] \phi)=0 [/mm] ist?
Der Laplace-Operator heißt ja zweimal ableiten...soll ich die Lösung mit der Summe jetzt erstmal zweimal ableiten? Aber das wär ja zweimal nach r und zweimal nach [mm] \phi...
[/mm]
Gruß David
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Hallo David90,
> ok...wie zeige ich denn, dass die angegebene Lösung eine
> Lösung von [mm]\Delta[/mm] u(r, [mm]\phi)=0[/mm] ist?
Einsetzen in die partielle DGL, wobei der Laplace-Operator
in Polarkoordinaten zu verwenden ist.
> Der Laplace-Operator heißt ja zweimal ableiten...soll ich
> die Lösung mit der Summe jetzt erstmal zweimal ableiten?
> Aber das wär ja zweimal nach r und zweimal nach [mm]\phi...[/mm]
Verwende diesen Laplace-Operator.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mo 23.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ja stimmt, das haben wir im Tutorium gemacht, dass dann null gesetzt und dann Produktansatz gemacht usw. und dann kan das mit der Summe raus mit den Koeffizienten [mm] A_{n} [/mm] und [mm] B_{n}...ist [/mm] jetzt die Aufgabe die Koeffizienten zu bestimmen?
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Hallo David90,
> Ja stimmt, das haben wir im Tutorium gemacht, dass dann
> null gesetzt und dann Produktansatz gemacht usw. und dann
> kan das mit der Summe raus mit den Koeffizienten [mm]A_{n}[/mm] und
> [mm]B_{n}...ist[/mm] jetzt die Aufgabe die Koeffizienten zu
> bestimmen?
>
Ja, das ist jetzt die Aufgabe.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 23.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok wir haben ja nur noch die eine Bedingung, also: für r=2:
[mm] 4sin^3 \phi=\summe_{n=0}^{\infty}2^n(A_{n}(n\phi)+B_{n}sin(n\phi))
[/mm]
Die linke Seite wird erstmal umgeformt mit Additionstheoremen:
[mm] 4sin^3 \phi=4*\bruch{1}{4}(3sin(\phi)-sin(3*\phi))=3sin(\phi)-sin(3*\phi)
[/mm]
Kann man das jetzt noch weiter umformen? Weil Koeffizientenvergleich klappt ja nicht, weil zwei sin-Terme da stehen...
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok wir haben ja nur noch die eine Bedingung, also: für
> r=2:
> [mm]4sin^3 \phi=\summe_{n=0}^{\infty}2^n(A_{n}(n\phi)+B_{n}sin(n\phi))[/mm]
>
> Die linke Seite wird erstmal umgeformt mit
> Additionstheoremen:
> [mm]4sin^3 \phi=4*\bruch{1}{4}(3sin(\phi)-sin(3*\phi))=3sin(\phi)-sin(3*\phi)[/mm]
>
> Kann man das jetzt noch weiter umformen? Weil
> Koeffizientenvergleich klappt ja nicht, weil zwei sin-Terme
> da stehen...
>
Der Koeffizientenvergleich funktioniert trotzdem,
weil die Koeffizienten vor den Cosinus-Termen Null sind.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 23.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ja [mm] A_{n}=0 [/mm] weil es ja keine cos-Terme gibt, dann bleibt stehen:
[mm] 3sin(\phi)-sin(3\phi)=2^n*B_{n}*sin(n*\phi)...jetzt [/mm] ist die Frage was die anderen Koeffizienten sind...weil auf der einen Seite stehen ja zwei sin-Terme...
Gruß David
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Hallo David90,
> Ja [mm]A_{n}=0[/mm] weil es ja keine cos-Terme gibt, dann bleibt
> stehen:
> [mm]3sin(\phi)-sin(3\phi)=2^n*B_{n}*sin(n*\phi)...jetzt[/mm] ist
> die Frage was die anderen Koeffizienten sind...weil auf der
> einen Seite stehen ja zwei sin-Terme...
>
Auf der rechten Seite der Gleichung steht doch eine Summe:
[mm]3sin(\phi)-sin(3\phi)=\summe_{n=1}^{\infty}{2^n*B_{n}*sin(n*\phi)}[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mo 23.01.2012 | | Autor: | David90 |
Stimmt da steht ja ne Summe..
aber irgendwie ist ja für jedes n das [mm] B_{n} [/mm] anders:
für n=0 ist alles 0
für n=1: [mm] 2*B_{n}sin(\phi) [/mm] und da [mm] sin(\phi) [/mm] da steht kann man [mm] B_{n}nur [/mm] an [mm] 3sin(\phi) [/mm] anpassen oder? dann wär ja [mm] B_{n}=3/2
[/mm]
für n=2 geht das garnicht weil ja kein term [mm] sin(2*\phi) [/mm] da steht...
für n=3 gehts wieder: [mm] 8*B_{n}sin(3*\phi)=-sin(3*\phi) [/mm] und da ist [mm] B_{n}=-1/8...also [/mm] irgendwie ist das verwirrend...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 24.01.2012 | | Autor: | David90 |
Kann mir keiner helfen?:(
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Mi 25.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn links kein [mm] sin(2\phi) [/mm] vorkommt , alos [mm] 0*sin(2\phi) [/mm] aber rechts schon B2* [mm] sin(2\phi)
[/mm]
wie muss man dann [mm] B_2 [/mm] wohl nehmen?
links kommt kein [mm] sin(n*\phi) [/mm] für n>3 vor. was ist dann wohl mit den [mm] B_n [/mm] für n>3
wenn n=2 ist musst du auch [mm] B_2 [/mm] schreiben usw und nicht [mm] B_n!
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:52 Mi 25.01.2012 | | Autor: | David90 |
naja [mm] B_{2} [/mm] muss dann 0 sein und für n>3 muss [mm] B_{n}=0 [/mm] sein...also hat man unetrschiedliche [mm] B_{n}? [/mm] Wie sieht denn dann die Lösung aus?
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mi 25.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja natürlich sind die [mm] B_n [/mm] verschieden, die sollst du ja bestimmen
jetzt schreib das einfach so hin dass links und rechts dasselbe steht, das nennt man nen kieffizientenvergleich.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:30 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Hallo!
Ist das so gemeint:
[mm] u(r,\delta)=\bruch{3}{2}sin\delta-\bruch{1}{8}sin(3*\delta [/mm] ) ?
mfg,
lentio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 27.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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