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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen [mm] u:\IR \to \IR [/mm] der Differentialgleichung u'' -10u' + 34u = 0 für die Randwertprobleme:
a) u(0) = 0, [mm] u(\frac{\pi}{2}) [/mm] = 1
b) u(0) = 0, [mm] u(\pi) [/mm] = 1
c) u(0) = 0, [mm] u(\pi) [/mm] = 0 |
Hallo,
die allgemeine Lösung ist:
[mm] \phi(t) = c_1e^{5t}cos(3t) + c_2e^{5t}sin(3t) [/mm]
So wie ich das jetzt verstanden habe, setze ich die Randwerte einfach mal ein und guck was sich für die Konstanten [mm] c_1, c_2 [/mm] ergibt.
Es ist [mm] \phi(0) = c_1e^{3*0}cos(3*0) + c_2e^{5*0}sin(3*0) = c_1 = 0 [/mm] also ist für alle Teilaufgaben a) bis c) [mm] c_1 [/mm] = 0.
a) [mm] \phi(\frac{\pi}{2})=c_2e^{5*\frac{\pi}{2}}sin(3*\frac{\pi}{2})=c_2 e^{5*\frac{\pi}{2}} * (-1) = 1[/mm]
Also muss [mm] c_2=-e^{-5*\frac{\pi}{2}} [/mm] gelten. Und die Lösung für a) wäre [mm] \phi(t) [/mm] = -sin(3t) <- stimmt aber nicht wenn ich das in u'' - 10u' + 34u = 0 einsetze...
b) [mm] \phi(\pi)=c_2 e^{5\pi}sin(3\pi) = 0 [/mm] für alle [mm] c_2 \in \IR, [/mm] folglich gibt es keine Lösung außer der trivialen..
c)[mm]\phi(\pi)=c_2e^{5\pi}sin(3\pi) = 0 [/mm] für alle [mm] c_2 \in \IR
[/mm]
folglich ist die Lösung [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] c_2e^{5t} [/mm] sin(3t)
Stimmt das?
Was ist alles falsch?
Danke
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Hallo teo,
> Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen [mm]u:\IR \to \IR[/mm] der
> Differentialgleichung u'' -10u' + 34u = 0 für die
> Randwertprobleme:
>
> a) u(0) = 0, [mm]u(\frac{\pi}{2})[/mm] = 1
>
> b) u(0) = 0, [mm]u(\pi)[/mm] = 1
>
> c) u(0) = 0, [mm]u(\pi)[/mm] = 0
> Hallo,
>
> die allgemeine Lösung ist:
>
> [mm]\phi(t) = c_1e^{5t}cos(3t) + c_2e^{5t}sin(3t)[/mm]
>
> So wie ich das jetzt verstanden habe, setze ich die
> Randwerte einfach mal ein und guck was sich für die
> Konstanten [mm]c_1, c_2[/mm] ergibt.
>
> Es ist [mm]\phi(0) = c_1e^{3*0}cos(3*0) + c_2e^{5*0}sin(3*0) = c_1 = 0[/mm]
> also ist für alle Teilaufgaben a) bis c) [mm]c_1[/mm] = 0.
>
> a)
> [mm]\phi(\frac{\pi}{2})=c_2e^{5*\frac{\pi}{2}}sin(3*\frac{\pi}{2})=c_2 e^{5*\frac{\pi}{2}} * (-1) = 1[/mm]
> Also muss [mm]c_2=-e^{-5*\frac{\pi}{2}}[/mm] gelten. Und die Lösung
> für a) wäre [mm]\phi(t)[/mm] = -sin(3t) <- stimmt aber nicht wenn
> ich das in u'' - 10u' + 34u = 0 einsetze...
>
Die Lösung ergibt sich doch zu:
[mm]\phi\left(t\right)=c_{2}*e^{5t}\sin\left(3t\right)=\blue{-e^{-5*\frac{\pi}{2}}}*e^{5t}\sin\left(3t\right)[/mm]
> b) [mm]\phi(\pi)=c_2 e^{5\pi}sin(3\pi) = 0[/mm] für alle [mm]c_2 \in \IR,[/mm]
> folglich gibt es keine Lösung außer der trivialen..
>
Es gibt auch keine triviale Lösung für diese Anfangswerte.
> c)[mm]\phi(\pi)=c_2e^{5\pi}sin(3\pi) = 0[/mm] für alle [mm]c_2 \in \IR[/mm]
>
> folglich ist die Lösung [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]c_2e^{5t}[/mm] sin(3t)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt das?
>
> Was ist alles falsch?
>
> Danke
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo teo,
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> > Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen [mm]u:\IR \to \IR[/mm] der
> > Differentialgleichung u'' -10u' + 34u = 0 für die
> > Randwertprobleme:
> >
> > a) u(0) = 0, [mm]u(\frac{\pi}{2})[/mm] = 1
> >
> > b) u(0) = 0, [mm]u(\pi)[/mm] = 1
> >
> > c) u(0) = 0, [mm]u(\pi)[/mm] = 0
> > Hallo,
> >
> > die allgemeine Lösung ist:
> >
> > [mm]\phi(t) = c_1e^{5t}cos(3t) + c_2e^{5t}sin(3t)[/mm]
> >
> > So wie ich das jetzt verstanden habe, setze ich die
> > Randwerte einfach mal ein und guck was sich für die
> > Konstanten [mm]c_1, c_2[/mm] ergibt.
> >
> > Es ist [mm]\phi(0) = c_1e^{3*0}cos(3*0) + c_2e^{5*0}sin(3*0) = c_1 = 0[/mm]
> > also ist für alle Teilaufgaben a) bis c) [mm]c_1[/mm] = 0.
> >
> > a)
> >
> [mm]\phi(\frac{\pi}{2})=c_2e^{5*\frac{\pi}{2}}sin(3*\frac{\pi}{2})=c_2 e^{5*\frac{\pi}{2}} * (-1) = 1[/mm]
> > Also muss [mm]c_2=-e^{-5*\frac{\pi}{2}}[/mm] gelten. Und die Lösung
> > für a) wäre [mm]\phi(t)[/mm] = -sin(3t) <- stimmt aber nicht wenn
> > ich das in u'' - 10u' + 34u = 0 einsetze...
> >
>
>
> Die Lösung ergibt sich doch zu:
>
> [mm]\phi\left(t\right)=c_{2}*e^{5t}\sin\left(3t\right)=\blue{-e^{-5*\frac{\pi}{2}}}*e^{5t}\sin\left(3t\right)[/mm]
ja stimmt... danke!
>
> > b) [mm]\phi(\pi)=c_2 e^{5\pi}sin(3\pi) = 0[/mm] für alle [mm]c_2 \in \IR,[/mm]
> > folglich gibt es keine Lösung außer der trivialen..
> >
>
>
> Es gibt auch keine triviale Lösung für diese
> Anfangswerte.
>
>
> > c)[mm]\phi(\pi)=c_2e^{5\pi}sin(3\pi) = 0[/mm] für alle [mm]c_2 \in \IR[/mm]
>
> >
> > folglich ist die Lösung [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]c_2e^{5t}[/mm] sin(3t)
> >
>
>
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>
> > Stimmt das?
> >
> > Was ist alles falsch?
> >
> > Danke
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Dann doch so einfach. Vielen Dank!
Grüße
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