Randwertproblem Elektrostatik < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 So 28.04.2013 | | Autor: | medphys |
| Aufgabe | Vor eine geerdete Metallkugel mit Radius R wird eine Punktladung [mm] q_A [/mm] im Abstand [mm] r_a>R [/mm] vom Kugelmittelpunkt platziert. Durch Influenz entsteht auf der Kugel eine Ladung. Diese kann als Spiegelladung [mm] q_B [/mm] dargestellt werden, die einen Abstand [mm] r_B
[mm] 4\pi \varepsilon_0\cdot\varphi(\vec{r},\vec{r_A},\vec{r_B})=\frac{q_A}{|\vec{r}-\vec{r_A}|}+\frac{q_B}{|\vec{r}-\vec{r_B}|} [/mm] und nehmen Sie für für das Potential [mm] \varphi(r=R)=0 [/mm] an.
Hinweise:
a. Erweitern Sie im Ansatz den ersten Term mit [mm] r^{-1}/r^{-1} [/mm] und den zweiten mit [mm] r_B^{-1}/r_B^{-1}, [/mm] um die Einheitsvektoren in diese Terme einzufügen.
b. Machen Sie an geeigneter Stelle von der Beziehung [mm] \vec{e_e}\cdot\vec{e_A}=cos(\alpha) [/mm] Gebrauch, wobei [mm] \vec{e_r} [/mm] und [mm] \vec{e_A} [/mm] die zu [mm] \vec{r} [/mm] und [mm] \vec{r_A} [/mm] gehörigen Einheitsvektoren sind. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe bin ich leider völlig überfordert. Im Hinweis a. steht, ich soll mit [mm] r^{-1}/r^{-1} [/mm] und mit [mm] r_B^{-1}/r_B^{-1} [/mm] erweitern um die Einheitsvektoren einzufügen. Ich habe mir aber gedacht um die Einheitsvektoren hinzuzufügen muss ich den Term so schreiben:
[mm] 4\pi \varepsilon_0\cdot\varphi(\vec{r},\vec{r_A},\vec{r_B})=\frac{q_A}{|\vec{r}-\vec{r_A}|}\cdot\frac{\vec{r_A}}{r_A}+\frac{q_B}{|\vec{r}-\vec{r_B}|}\cdot\frac{\vec{r_B}}{r_B} [/mm] Ist das falsch? Vorallem frag ich mich, wieso das so komisch geschrieben ist, weil ja z.B. [mm] r^{-1}/r^{-1}=r/r [/mm] ist. Oder ist das für die weitere Bearbeitung für die Aufgabe zielführend.
Ich weiß leider garnicht wie ich anfangen soll, außer Hinweis a. in den Superpositionsansatz einzusetzen, wobei auch schon Unsicherheiten auftreten. Würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
MfG
medphys
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Hallo,
> Vor eine geerdete Metallkugel mit Radius R wird eine
> Punktladung [mm]q_A[/mm] im Abstand [mm]r_a>R[/mm] vom Kugelmittelpunkt
> platziert. Durch Influenz entsteht auf der Kugel eine
> Ladung. Diese kann als Spiegelladung [mm]q_B[/mm] dargestellt
> werden, die einen Abstand [mm]r_B
> Zeigen Sie, dass für das elektrostatische Potential
> [mm]\varphi(\vec{r},\vec{r_A})=\frac{q_A}{4\pi \varepsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r_A}|}-\frac{1}{|R^{-1}*r_A*\vec{r}-R*\vec{r_A^{-1}*\vec{r_A}}|}\right)[/mm]
> folgt. Verwenden Sie dafür den Coulombschen
> Superpositionsansatz
> [mm]4\pi \varepsilon_0\cdot\varphi(\vec{r},\vec{r_A},\vec{r_B})=\frac{q_A}{|\vec{r}-\vec{r_A}|}+\frac{q_B}{|\vec{r}-\vec{r_B}|}[/mm]
> und nehmen Sie für für das Potential [mm]\varphi(r=R)=0[/mm] an.
> Hinweise:
> a. Erweitern Sie im Ansatz den ersten Term mit
> [mm]r^{-1}/r^{-1}[/mm] und den zweiten mit [mm]r_B^{-1}/r_B^{-1},[/mm] um die
> Einheitsvektoren in diese Terme einzufügen.
> b. Machen Sie an geeigneter Stelle von der Beziehung
> [mm]\vec{e_e}\cdot\vec{e_A}=cos(\alpha)[/mm] Gebrauch, wobei
> [mm]\vec{e_r}[/mm] und [mm]\vec{e_A}[/mm] die zu [mm]\vec{r}[/mm] und [mm]\vec{r_A}[/mm]
> gehörigen Einheitsvektoren sind.
> Hallo,
> bei dieser Aufgabe bin ich leider völlig überfordert. Im
> Hinweis a. steht, ich soll mit [mm]r^{-1}/r^{-1}[/mm] und mit
> [mm]r_B^{-1}/r_B^{-1}[/mm] erweitern um die Einheitsvektoren
> einzufügen. Ich habe mir aber gedacht um die
> Einheitsvektoren hinzuzufügen muss ich den Term so
> schreiben:
> [mm]4\pi \varepsilon_0\cdot\varphi(\vec{r},\vec{r_A},\vec{r_B})=\frac{q_A}{|\vec{r}-\vec{r_A}|}\cdot\frac{\vec{r_A}}{r_A}+\frac{q_B}{|\vec{r}-\vec{r_B}|}\cdot\frac{\vec{r_B}}{r_B}[/mm]
> Ist das falsch?
gefühlsmäßig aufjedenfall unsauber und falsch, da [mm]\vec{r_A}[/mm] ein vektor ist und [mm]r_A[/mm] ein skalar.
außerdem solltest du die formel für das potential kennen:
[mm]V(x^{m})=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\int { \frac{(x^{i}-x^{'i})}{|x^{m}-x^{'m}|}d^{3}x^{i}}[/mm]
sofern du die indexschreibweise beherrscht, würde ich sie auch nutzen. (http://de.wikipedia.org/wiki/Einsteinsche_Summenkonvention)
> Vorallem frag ich mich, wieso das so
> komisch geschrieben ist, weil ja z.B. [mm]r^{-1}/r^{-1}=r/r[/mm]
> ist. Oder ist das für die weitere Bearbeitung für die
> Aufgabe zielführend.
Habs jetzt nicht durchgerechnet aber in jedem fall erweiterst du mit 1 um auf das gewünschte ergebnis zu kommen.
> Ich weiß leider garnicht wie ich anfangen soll, außer
> Hinweis a. in den Superpositionsansatz einzusetzen, wobei
> auch schon Unsicherheiten auftreten.
einsetzten und rechenweg posten, ansonsten finden wir die unsicherheiten nicht ;)
> Würde mich sehr über
> eure Hilfe freuen.
> MfG
> medphys
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:26 Mo 06.05.2013 | | Autor: | medphys |
Hallo zusammen,
Ich habe einen neuen Ansatz, bei dem es leider am Ende hackt:
[mm] \phi(\vec{r}=R\vec{e_{r}},\vec{r_{A}},\vec{r_{B}})=0
[/mm]
Wenn ich das einsetze erhalte ich:
[mm] q_{A}^{2}(R^{2}-2R\vec{e_{r}}\vec{r_{B}}+r_{B}^{2})=q_{B}^{2}(R^{2}-2R\vec{e_{r}}\vec{r_{A}}+r_{A}^{2})
[/mm]
Das habe ich dann "umsortiert" zu:
[mm] R^{2}(q_{A}^{2}-q_{B}^{2})+2R\vec{e_{r}}(q_{B}^{2}\vec{r_{A}}+q_{A}^{2}\vec{r_{B}})=r_{A}^{2}q_{B}^{2}-r_{B}^{2}q_{A}^{2}
[/mm]
Da ja diese Beziehung für alle Vektoren [mm] \vec{e_{r}} [/mm] gelten muss, muss der Term davon unabhängig sein!
Also erhalte ich folgende zwei Gleichungen:
[mm] q_{B}^{2}\vec{r_{A}}=q_{A}^{2}\vec{r_{B}}
[/mm]
[mm] (q_{A}^{2}-q_{B}^{2})R^{2}=q_{B}^{2}r_{A}^{2}-q_{A}^{2}r_{B}^{2}
[/mm]
Aus diesen beiden Gleichungen müsste ich auf folgende Beziehungen kommen ( was ich leider nicht tue):
[mm] \vec{r_{B}}=\bruch{R^{2}}{r_{A}^{2}}\vec_{r_{A}}
[/mm]
[mm] q_{B}=-\bruch{R}{r_{A}}q_{A}
[/mm]
Ich finde einfach keinen Weg die obigen Gleichungen so ineinander einzusetzen, um auf diese Beziehungen zu kommen.
Würde mich freuen wenn mir jemand einen Tipp geben kann, wie ich am besten Vorgehen sollte.
MfG
Medphys
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 08.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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