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Hallo,
gegeben seien ein Körper K und zwei Matrizen A [mm] \in K^{mxn} [/mm] und B [mm] \in K^{nxp}. [/mm] Zeigen Sie:
Rang(AB) [mm] \le [/mm] min(Rang(A), Rang(B))
Okay - wie geht das? Klar ist, dass AB eine (mxp) Matrix ist und dass der Rang von AB maximal min(m, p) sein kann. Der Rang von A ist maximal min(m, n) und der Rang von B ist maximal min(n,p). Aber so richtig weiter bringt mich das nicht...
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> Hallo,
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> gegeben seien ein Körper K und zwei Matrizen A [mm]\in K^{mxn}[/mm]
> und B [mm]\in K^{nxp}.[/mm] Zeigen Sie:
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> Rang(AB) [mm]\le[/mm] min(Rang(A), Rang(B))
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> Okay - wie geht das? Klar ist, dass AB eine (mxp) Matrix
> ist und dass der Rang von AB maximal min(m, p) sein kann.
> Der Rang von A ist maximal min(m, n) und der Rang von B ist
> maximal min(n,p). Aber so richtig weiter bringt mich das
> nicht...
Hallo,
das sind schonmal wichtige Gedanken.
Die Ränge haben ja was mit der Dimension der Bilder zu tun.
Wenn z.B. das Bild v. B die Dimension 2 hat, kann dann das Bild v. AB die Dimension 5 haben?
Gruß v. Angela
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Danke...
Was ist denn das Bild einer Matrix? Ich kann darüber nicht wirklich was in meinen Büchern finden... Ist das vielleicht der "null space"? Also alle Vektoren, die Bx = 0 lösen würde?
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> Was ist denn das Bild einer Matrix? Ich kann darüber nicht
> wirklich was in meinen Büchern finden... Ist das vielleicht
> der "null space"? Also alle Vektoren, die Bx = 0 lösen
> würde?
Hallo,
nein, das, was Du schreibst, ist der Kern der Matrix, KernB.
Das Bild von B ist das Bild der Abbildung [mm] f_B, [/mm] deren darstellende Matrix B ist.
Also ist das Bild von B die Menge, die alle Linearkombinationen der Spaltenvektoren enthält.
Es ist dimBildB=Rang B, und ich würde die Aufgabe lösen, indem ich mir die entsprechenden zugehörigen Abbildungen anschauen würde, also [mm] f_A\circ f_B [/mm] betrachten.
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal,
also - die Spaltenvektoren von A und B spannen ja jeweils einen Raum auf. Die Spaltenvektoren sind nicht zwangsläufig die Basis. Was ich noch weiß ist, dass dim(Bild(A)) = m - rg(A) ist. Für B gilt dim(Bild(B)) = n - rg(B).
Für AB gilt dim(Bild(AB)) = m - rg(AB). Und nun?
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> also - die Spaltenvektoren von A und B spannen ja jeweils
> einen Raum auf.
Hallo,
ja, und zwar ist dieser Raum das Bild der Matrix.
> Die Spaltenvektoren sind nicht zwangsläufig
> die Basis.
Genau. Woraus man etwas erfahren kann über die Anzahl der Spaltenvektoren und die Dimension des Bildes.
> Was ich noch weiß ist, dass dim(Bild(A)) = m -
> rg(A) ist.
Das ist abenteuerlich. Da guck mal lieber nochmal nach, ob das so stimmt...
Aber ich glaube nicht, daß Du das, was Dueigentlich meintest, für Teil a) benötigst.
Gruß v. Angela
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