Rang = Dim ? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
bei vielen Aufgaben, in denen ich den Rang einer Matrix bestimmen sollte , war diese immer gleich der Dimension.
Kann man also sagen, dass Rang = Dimension ist ?
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 So 28.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Rang einer Matrix und die (welche?) Dimension haben nicht direkt miteinander zu tun. oder um welche "Dimension! geht es dir bei einer Matrix aus [mm] R^{n\times n} [/mm]
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
also um mal eine Aufgabe als Beispiel zu nehmen (http://mathods.com/mathe.php?con=Lineare+Algebra&can=Vektorraum&cun=Dimension )
"Bestimmen Sie die Dimension des Unterraumes von [mm] \IR^{4} [/mm] , der von den Vektoren
[mm] \vektor{1 \\ -4 \\ -2 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ -1 \\ 2}, [/mm]
[mm] \vektor{3 \\ -8 \\ -2 \\ 7} [/mm] aufgespannt wird.
Und dann rechnen die dort mittels Gauß und sagen "Damit ist der Rang = 3, und somit hat der Unterraum die Dimension 3".
Dieses "somit" ist ja dann sowas wie ne Implikation, da dachte ich mir , dass wohl Rang=Dimension gilt.
|
|
|
| |
|
> Hallo nochmal,
>
>
> also um mal eine Aufgabe als Beispiel zu nehmen
> (http://mathods.com/mathe.php?con=Lineare+Algebra&can=Vektorraum&cun=Dimension
> )
> "Bestimmen Sie die Dimension des Unterraumes von [mm]\IR^{4}[/mm] ,
> der von den Vektoren
> [mm]\vektor{1 \\ -4 \\ -2 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ -1 \\ 2},[/mm]
> [mm]\vektor{3 \\ -8 \\ -2 \\ 7}[/mm] aufgespannt wird.
>
> Und dann rechnen die dort mittels Gauß und sagen "Damit
> ist der Rang = 3, und somit hat der Unterraum die Dimension
> 3".
> Dieses "somit" ist ja dann sowas wie ne Implikation, da
> dachte ich mir , dass wohl Rang=Dimension gilt.
Hallo,
und wieder:
Rang= Dimension des von den Spalten aufgespannten Unterraumes.
LG Angela
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> bei vielen Aufgaben, in denen ich den Rang einer Matrix
> bestimmen sollte , war diese immer gleich der Dimension.
> Kann man also sagen, dass Rang = Dimension ist ?
Hallo,
Du mußt genauer arbeiten, formulieren, denken, was alles eng miteinander zusammenhängt.
Man kann nicht sagen: Rang der Matrix= Dimension,
weil Du gar nicht sagst, von welcher Dimension Du redest.
Es ist Rang einer Matrix= Dimension des von ihren Spalten aufgespannten Raumes.
Die Dimension des von ihren Spalten aufgespannten Raumes ist nicht immer gleich der Anzahl der Spalten der Matrix.
Betrachte
[mm] \pmat{1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0}
[/mm]
Die Matrix hat den Rang 2,
ihre Spalten spannen einen zweidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] auf.
LG Angela
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
>
|
|
|
| |
|
Danke für die Antworten, jetzt wird mir einiges klarer.
Kann ich folgendes dann sagen:
Wenn ich die Dimension eines Unterrvektorraums berechenn will, bestimmte ich den Rang und , das ist auch gleich die Dimension(das ist das mit dem Aufspannen)
Wenn es aber nicht um einen UNTERVektorraum geht, sondern einfach irgendein Vektorraum, z.B [mm] \IR^{3}, [/mm] dann schreibe ich die gegebenen 3 Vektoren als Matrix auf , berechne dessen Rang ( voller Rang ist hier 3), wenn aber als Rang jetzt 2 rauskommt, habe ich ja 2 Basisvektoren, folglich ist damit die Dimension 2.
Ich muss also schauen, ob die Rede von einem Unterraum ist oder einfach der ganze Vektorraum.
Kann man das so sagen ?
|
|
|
| |
|
> Kann ich folgendes dann sagen:
> Wenn ich die Dimension eines Unterrvektorraums berechenn
> will, bestimmte ich den Rang und , das ist auch gleich die
> Dimension(das ist das mit dem Aufspannen)
Hallo,
Du mußt genauer formulieren, sonst erleidest Du Schiffbruch in der Mathematik.
Je unklarer die Dinge noch sind, desto genauer solltest Du formulieren. Schließlich willst Du Dir Klarheit verschaffen und nicht Dich selbst noch zusätzlich verwirren.
Wenn Du eine gewisse Anzahl von Spaltenvektoren des [mm] \IR^n [/mm] gegeben hast und sagen sollst, welche Dimension der von ihnen aufgespannte Raum (oder: aufgespannte Unterraum des [mm] \IR^n) [/mm] hat, stellst Du sie als Spalten in eine Matrix und bestimmst deren Rang. Dieser ist die gesuchte Dimension.
>
> Wenn es aber nicht um einen UNTERVektorraum geht, sondern
> einfach irgendein Vektorraum, z.B [mm]\IR^{3},[/mm]
der bekanntermaßen die Dimension 3 hat,
> dann schreibe
> ich die gegebenen 3 Vektoren als Matrix auf berechne
> dessen Rang ( voller Rang ist hier 3), wenn aber als Rang
> jetzt 2 rauskommt,
hat der aufgespannte Raum die Dimension 2,
> habe ich ja hat seine Basis also 2 Basisvektoren.
Genau. Die drei spannen dann einen zweidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] auf, also nicht den [mm] \IR^3 [/mm] selbst.
Und weil sie den [mm] \IR^3 [/mm] nicht aufspannen, sind sie kein Erzeugendensystem und erst recht keine Basis [mm] des\IR^3.
[/mm]
>
> Ich muss also schauen, ob die Rede von einem Unterraum ist
> oder einfach der ganze Vektorraum.
Eigentlich nicht.
Wenn Du einen Vektorraum der Dimension 5 hast, etwa den [mm] \IR^5 [/mm] und 5 Vektoren dieses Raumes, verfährst Du wie oben und guckst, ob der aufgespannte Raum die Dimension 5 hat. Dann ist es ein 5-dimensionaler UVR des Raumes [mm] \IR^5, [/mm] also der [mm] \IR^5 [/mm] selber.
Wenn Du 6 Vektoren des [mm] \IR^5 [/mm] hast, können sie keine Basis sein. Bestenfalls enthalten sie eine 5-elementige Teilmenge, welche eine Basis des [mm] \IR^5 [/mm] ist,
und 4 Vektoren des [mm] \IR^5 [/mm] haben nie eine Chance, eine Basis oder ein Erzeugendensystem zu sein, denn der [mm] \IR^5 [/mm] hat die Dimension 5.
LG Angela
>
> Kann man das so sagen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 So 28.12.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung. Schönen Sonntag noch.
|
|
|
|
