Rang bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Mo 04.08.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Bestimme den Rang der folgenden Matrix:
A = [mm] \pmat{ 11 & 12 & 13 \\ 21 & 22 & 23 \\ 31 & 32 & 33 } [/mm] |
Durch elementare Zeilenumformungen habe ich [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] erhalten. Also gibt es zwei lin. unabhängige Zeilen, deshalb ist der Rang der Matrix 2.
Doch ich könnte aber auch die Spalten betrachten? Es gibt 2 lin. unabhänigige Spalten. Also hat die Matrix Rang 2.
Stimmt dies, dass es generell keine Rollge spielt, ob die Anzahl lin. unabhängiger Spalten oder Zeilen betrachtet werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mo 04.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme den Rang der folgenden Matrix:
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> A = [mm]\pmat{ 11 & 12 & 13 \\ 21 & 22 & 23 \\ 31 & 32 & 33 }[/mm]
>
> Durch elementare Zeilenumformungen habe ich [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> erhalten. Also gibt es zwei lin. unabhängige Zeilen,
> deshalb ist der Rang der Matrix 2.
>
> Doch ich könnte aber auch die Spalten betrachten? Es gibt 2
> lin. unabhänigige Spalten. Also hat die Matrix Rang 2.
> Stimmt dies, dass es generell keine Rollge spielt, ob die
> Anzahl lin. unabhängiger Spalten oder Zeilen betrachtet
> werden?
Ja. Es gilt: Spaltenrang = Zeilenrang
FRED
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ich versuche mir grad das mit dem rang beizubringen, doch hab ich kaum beispielaufgaben im buch. kannst du mir mal sagen wie du deine matrix umgeformt hast?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 04.08.2008 | | Autor: | clwoe |
Hi,
schau dir das "Gaussche Lösungsverfahren" für Lineare Gleichungssysteme an. Damit wird eine Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf "obere Dreiecksgestalt" gebracht, so das man den Rang der Matrix direkt ablesen kann.
Gruß,
clwoe
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ich lös die gleichungssysteme immer mit dem gaußverfahren nur bin ich auf folgende matrix gekommen. war nur neugierig was für rechenschritte er gemacht hat.
11 12 13
21 22 23 |-I
31 32 33 |-II
11 12 13
10 10 10
10 10 10 |III-II
11 12 13 |I-II
10 10 10
0 0 0
1 2 3
10 10 10 |-10*I
0 0 0
1 2 3
0 -10 -20
0 0 0
somit kommt bei mir der rang 2 auch heraus.
im papula auf s.198 steht
"Der Rang r einer Matrix A ändert sich nicht, wenn sie den folgenden elementaren Umformungen unterworfen wird:
1.Zwei Zeilen (oder Spalten) werden miteinander vertauscht.
2.Die Elemente einer Zeile (oder Spalte) werden mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert.
3.Zu einer Zeile(oder Spalte) wird ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile(bzw. anderen Spalte)addiert.
"
heißt das ich darf eine spalte bzw zeile von einer anderen nicht subtrahieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mo 04.08.2008 | | Autor: | Kroni |
> ich lös die gleichungssysteme immer mit dem gaußverfahren
> nur bin ich auf folgende matrix gekommen. war nur neugierig
> was für rechenschritte er gemacht hat.
>
Hi,
>
> 11 12 13
>
> 21 22 23 |-I
>
> 31 32 33 |-II
>
>
> 11 12 13
>
> 10 10 10
>
> 10 10 10 |III-II
>
>
> 11 12 13 |I-II
>
> 10 10 10
>
> 0 0 0
>
>
> 1 2 3
>
> 10 10 10 |-10*I
>
> 0 0 0
>
>
Wenn du hier die zweite Zeile einfach durch 10 dividiert hättest, dann stünde dort:
[mm] $\pmat{1&2&3\\1&1&1\\0&0&0}$ [/mm] und jetzt die zweite von der ersten abziehen, dann steht da:
[mm] $\pmat{0&1&2\\1&1&1\\0&0&0}$
[/mm]
Also genau das, was weiter oben schon steht.
> 1 2 3
>
> 0 -10 -20
>
> 0 0 0
Das wäre auch okay.
>
> somit kommt bei mir der rang 2 auch heraus.
>
> im papula auf s.198 steht
>
> "Der Rang r einer Matrix A ändert sich nicht, wenn sie den
> folgenden elementaren Umformungen unterworfen wird:
>
> 1.Zwei Zeilen (oder Spalten) werden miteinander
> vertauscht.
>
> 2.Die Elemente einer Zeile (oder Spalte) werden mit einer
> beliebigen von Null verschiedenen Zahl multipliziert oder
> durch eine solche Zahl dividiert.
>
> 3.Zu einer Zeile(oder Spalte) wird ein beliebiges
> Vielfaches einer anderen Zeile(bzw. anderen
> Spalte)addiert.
> "
Das ist auch korrekt so.
>
> heißt das ich darf eine spalte bzw zeile von einer anderen
> nicht subtrahieren?
Was ist denn Subtraktion von einer Spalte von einer anderen? Das ist Addition eines neagtiven Vielfaches der Zeile, also ist das erlaubt. Du kannst doch jede Subtraktion auf eine Addition zurückführen, so ist zB $3-2=3+(-2)$, also die Addition der Gegenzahl. Genau so ist das hier auch. Warum sollte die Subtraktion nicht erlaubt sein, wenn die Addition erlaubt ist...
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Mo 04.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
gerade auf diesen gedanken bin ich auch kurz vor deiner antwort gekommen, dass subtraktion = addition mit einer negativen zahl ist , aber ich wollt dann doch nochmal sicher gehen und mir ne bestätigung einholen ^^
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