Rang bestimmung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich habe auch noch eine allgemeine Frage zur Rangbestimmung.
Wenn ich eine Matrix gegeben habe, und die Aufgabe lautet, ich soll den rang bestimmen, muss ich doch zuerst umformen oder?
Ich habe schon in vielen Büchern nachgelesen, aber leider weiss ich
1. nicht wofür ich das machen muss
2. wie ich genau vorzugehen hab, bzw. wann ich den Rang von meiner
Matrix ablesen kann
3. Was ist gemein wenn in der Aufgabe steht, Rang ( A,b ) ??
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand dieses Thema einmal " in Kindersprache" erklären könnte!!!
DANKE :)
|
|
| |
|
Hallo,
ja um den Rang zu bestimmen, musst du die Matrix umformen. Genauer gesagt, musst du die Matrix in Treppennormalform überführen (manchmal auch Zeilenstufenform genannt).
zu 2. In dieser umgeformten Matrix brauchst du nur noch die sog. Pivot- Pos. auszählen und dann hast du schon den Rang der Matrix.
--> in der Einheitsmatrix sind das 4 deshalb ist der Rang 4
zu 1. der Rang an sich ist sehr wichtig. Z.B. kannst du mit seiner Hilfe entscheiden, ob eine Matrix invertierbar ist (z.B. 4x4- Matrix (also n x n - im allgemeinen Fall), wenn der Rang = 4, dann ist die Matrix invertierbar). Andererseits kannst du damit festellen, ob ein Lineares Gleichungssystem keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat. Und vielleicht noch ein letztes Bsp., man kann lineare Abbildungen (also Abb. zwischen Vektorräumen) auch in Matrixform schreiben. Der Rang dieser Matrix entspricht dann der Dimension des Bildes der linearen Abb.. Das ist schon ein erster Schritt, um eine Basis zu bestimmen. Und das macht man nach her nur noch.
Du siehst also wie wichtig der RAng ist und wie er dir manche Rechnerei erspart.
Grüße Steffen
|
|
|
| |
|
Hallo!
Vielen Dank!
Aber noch 2 Fragen : Was ist denn die Pivot ( ? ) Position?
Auf Stufenform bringen heißt, dass ich diese Querzeile von einsen haben muss oder?
Genügt es wenn ich diese Zeile einser habe oder muss ich die Matrix im Gesamten auf Einheitsvektoren umformen?
Danke :)
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Aber noch 2 Fragen : Was ist denn die Pivot ( ? )
> Position?
>
> Auf Stufenform bringen heißt, dass ich diese Querzeile von
> einsen haben muss oder?
>
> Genügt es wenn ich diese Zeile einser habe oder muss ich
> die Matrix im Gesamten auf Einheitsvektoren umformen?
Ich häng mich mal an deine Ausgangsfragen an und beantworte dir diese dort, ok? wenn dann immer noch etwas unklar ist, kannst du nochmal nachfragen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
So, da bin ich wieder:
> Wenn ich eine Matrix gegeben habe, und die Aufgabe lautet,
> ich soll den rang bestimmen, muss ich doch zuerst umformen
> oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Es sei denn, du hast so eine tolle Matrix, die schon fertig umgeformt ist. 
> Ich habe schon in vielen Büchern nachgelesen, aber leider
> weiss ich
>
> 1. nicht wofür ich das machen muss
Quasi um den Rang direkt ablesen zu können.
> 2. wie ich genau vorzugehen hab, bzw. wann ich den Rang
> von meiner
> Matrix ablesen kann
Wenn die Matrix in Zeilenstufenform ist, wie ja auch schon gesagt wurde. Dann müssen aber auf der Diagonalen nicht unbedingt Einsen stehen. Wenn du es letztendlich ganz einfach ablesen willst, kannst du die Matrix auch auf Diagonalform bringen, so dass auf der Diagonalen nur noch Einsen bzw. Nullen stehen. So steht es in dem Buch, in dem ich gerade nachgeschaut habe. Aber ![[]](/images/popup.gif) hier ist auch ein Beispiel, wo man nur in eine beliebige Dreiecksmatrix umformt.
Das Prinzip, dann ablesen zu können, ist so, dass der Rang ja die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten bzw. Zeilen ist. Und wenn du die Matrix in diese Form gebracht hast, dann siehst du, wie viele der Zeilen linear abhängig sind.
> 3. Was ist gemein wenn in der Aufgabe steht, Rang ( A,b )
> ??
Das ist der Rang der erweiterten Matrix, wenn du ein LGS lösen möchtest. Du schreibst dann einfach zu deiner Matrix noch eine Spalte hinzu, nämlich den Vektor b.
> Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand dieses Thema einmal "
> in Kindersprache" erklären könnte!!!
Uups - das hatte ich gar nicht gelesen, mache ich aber automatisch eigentlich glaube ich. Jedenfalls so ungefähr.  Hat's geholfen? Ansonsten kannst du natürlich gerne nachfragen, wobei ich jetzt auch erstmal weiterlernen muss - schreibe nämlich morgen eine Klausur...
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
|
