Rang der Matrix A bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Stick |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Rang der Matrix A für alle Werte von X!
[mm] \pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1 & 0 & 1-x } [/mm] |
Habe erstmal die Matrix von oben rechts an, in die Spaltenstufenform gebracht:
[mm] \pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 5(5-x)*(1-x) & 0 & 0 }
[/mm]
So jetzt wollte ich erstmal mit dem rg(a) = 2 anfangen.
Also brauche ich sozusagen die Nullstellen.
also: 5(5-x)*(1-x) in Pq formel:
x1:-1, x2 = -5
--> und ab hier habe ich auch schon den ersten fehler rauskommen soll angeblich 0, 1, 6 für rg(2).... bei der pq formel habe ich mich hoffentlich ncith verrechnet....
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Hallo Stick,
> Bestimmen Sie den Rang der Matrix A für alle Werte von X!
> [mm]\pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1 & 0 & 1-x }[/mm]
> Habe
> erstmal die Matrix von oben rechts an, in die
> Spaltenstufenform gebracht:
>
> [mm]\pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 5(5-x)*(1-x) & 0 & 0 }[/mm]
Poste doch bitte die Rechenschritte,
wie Du auf diese Form gekommen bist.
Dann können wir sehen, wo der Fehlerteufel zugeschlagen hat.
>
> So jetzt wollte ich erstmal mit dem rg(a) = 2 anfangen.
> Also brauche ich sozusagen die Nullstellen.
>
> also: 5(5-x)*(1-x) in Pq formel:
> x1:-1, x2 = -5
> --> und ab hier habe ich auch schon den ersten fehler
> rauskommen soll angeblich 0, 1, 6 für rg(2).... bei der pq
> formel habe ich mich hoffentlich ncith verrechnet....
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Stick |
oke, also
$ [mm] \pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1 & 0 & 1-x } [/mm] $
die 1. Zeile *-(1-x) und zur 3. dazu addiert:
$ [mm] \pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1(5-x)*(1-x) & -2(1-x) & 0 } [/mm] $
dann 2. Zeile* 2 und zur 3. dazu addiert:
$ [mm] \pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\5(5-x)*(1-x) & 0 & 0 } [/mm] $
vielen dank
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Hallo Stick,
> oke, also
> [mm]\pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1 & 0 & 1-x }[/mm]
>
> die 1. Zeile *-(1-x) und zur 3. dazu addiert:
>
> [mm]\pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1(5-x)*(1-x) & -2(1-x) & 0 }[/mm]
Hier muß die Matrix so aussehen:
[mm]\pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1\red{-}(5-x)*(1-x) & -2(1-x) & 0 }[/mm]
>
> dann 2. Zeile* 2 und zur 3. dazu addiert:
>
> [mm]\pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\5(5-x)*(1-x) & 0 & 0 }[/mm]
Demnach dann auch hier:
[mm]\pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\5\red{-}(5-x)*(1-x) & 0 & 0 }[/mm]
>
> vielen dank
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:47 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Stick |
also wenn 5-(5-x)*(x-1) das gleiche ist wie 5(5-x)-(x-1),
dann habe ich es verstanden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:21 So 08.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> also wenn 5-(5-x)*(x-1) das gleiche ist wie 5(5-x)-(x-1),
> dann habe ich es verstanden.
ist das denn das gleiche? Ein schneller Blick verrät: Nein, ist es nicht!
Was bereitet dir Schwierigkeiten an dem Beitrag von MathePower? Präzisiere deine Frage bitte.
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 08.11.2009 | | Autor: | Stick |
Oke, dass mir jetzt echt schon fast peinlich....mein fehler liegt ja offensichtlich in der grundliegenden Punkt vor strick rechnung....?
also schritt für schritt aufschreiben:
1. schritt, 1.zeile * -(1-x) : (5-x)*-(1-x)
2. schritt, +1 addieren ; 3.zeile: 1+(5-x)*-(1-x)
Warum wird daraus also 1-(5-x)*(1-x)
danke für die geduld... =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 So 08.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Oke, dass mir jetzt echt schon fast peinlich....
peinlich ist das sicher nicht!
> $ [mm] \pmat{ \blue{5-x} & \blue{2} & \blue{1} \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1 & 0 & 1-x } [/mm] $
>
> die 1. Zeile [mm] \red{\cdot{(-(1-x))}} [/mm] und zur 3. dazu addiert:
die eigentliche Rechnung kannst du ruhig ausführlicher machen:
$ [mm] \pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1\red{-}\blue{(5-x)}\red{\cdot{}(1-x)} & 0\red{-}\blue{2}\red{\cdot{(1-x)}} & 1-x\red{-}\blue{1}*\red{(1-x)} }= \pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1\red{-}\blue{(5-x)}\red{\cdot{}(1-x)} & \red{-}\blue{2}\red{\cdot{(1-x)}} & 0 } [/mm] $
Soweit klar?
> dann 2. Zeile* 2 und zur 3. dazu addiert:
[mm] \pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1\red{-}\blue{(5-x)}\red{\cdot{}(1-x)} \green{+2*2} & \red{-}\blue{2}\red{\cdot{(1-x)}}\green{+2*(1-x)} & 0\green{+2*0} }=\pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1\red{-}\blue{(5-x)}\red{\cdot{}(1-x)} \green{+4} & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 5\red{-}\blue{(5-x)}\red{\cdot{}(1-x)} & 0 & 0 },
[/mm]
weil [mm] 1\red{-}\blue{(5-x)}\red{\cdot{}(1-x)} \green{+4}=1\green{+4} \red{-}\blue{(5-x)}\red{\cdot{}(1-5)}=5\red{-}\blue{(5-x)}\red{\cdot{}(1-x)}
[/mm]
Ist jetzt bunter geworden, als ich gedacht habe. Ich hoffe, es schadet jetzt nicht der Übersichtlichkeit und trägt zum Verständnis bei.
Gruß
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:14 So 08.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
[mm] A_x:=\pmat{ 5-x & 2 & 1 \\ 2 & 1-x & 0 \\ 1 & 0 & 1-x }
[/mm]
du kannst natürlich den umständlichen Weg gehen und die Matrix auf Zeilenstufenform bringen.
Oder du berechnest die Determinante. Wenn [mm] det(A_x)=0, [/mm] weißt du für welche x [mm] Rang(A_x)<3. [/mm] Den genauen Rang findest du dann, indem du x in [mm] A_x [/mm] einsetzt und die Matrix dann in Zeilenstufenform bringst. Für alle anderen Werte von x, die [mm] det(A_x)=0 [/mm] nicht erfüllen, gilt ja dann [mm] det(A_x)\not=0 [/mm] und damit hat die Matrix für diese Werte vollen Rang.
Diese Vorgehensweise ist doch etwas einfacher, wie ich finde.
Gruß barsch
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