Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Fr 22.02.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] A \in M_{mn}(K)[/mm], dann gilt:
Genau dann ist Rg(A)=r, wenn es invertierbare Matrizen [mm] P \in M_{mm}(K) [/mm] und [mm] Q \in M_{nn}(K) [/mm] gibt, so dass
[mm] A=P(\summe_{i=1}^{r}E_{ii})Q=P\pmat{I_r & | & 0 ... 0\\-&-&-\\0...0 & | & 0...0} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dieses Korollar verstehe ich nicht.
Wie kann ich denn eine Elementarmatrix, die ja quadratisch ist, von links mit [mm] P \in M_{mm}(K) [/mm] und von rechts mit [mm] Q \in M_{nn}(K) [/mm] multiplizieren ?
Danke, Susanne.
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P und Q sind glaube ich Matrizen, die Elementare Zeilen- und Spaltenumformungen ausdrücken; aber rein von den Dimensionen her müsste die innere Matrix (also die Einheitsmatrix) schon n bzw. m-Dimensional sein...
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Hallo Susanne,
ich verstehe das nicht ganz. Muss das Korallar nicht so lauten?
Sei [mm]A \in M_{mn}(K)[/mm], dann gilt:
Genau dann ist Rg(A)=r, wenn es invertierbare Matrizen [mm]P \in M_{mm}(K)[/mm] und [mm]Q \in M_{nn}(K)[/mm] gibt, so dass
[mm] $PAQ=\pmat{I_r & | & 0 ... 0\\-&-&-\\0...0 & | & 0...0}$.
[/mm]
So stimmt das dann mit den Abmessungen der Matrizen und $P$ bzw. $Q$ stellen die Zeilen- bzw. Spaltenumformungen dar, die man auf $A$ anwendet, wie Stefan schon gesagt hat.
Die resultierende Matrix ist eine [mm] $(m\times [/mm] n)$-Matrix (so wie auch $A$), die fast nur Nullen enthält. Lediglich die ersten $r$ Diagonaleinträge sind Einser.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Fr 22.02.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Hugo,
nein, leider habe ich das Korollar schon richtig wiedergegeben.
Deine Variante würde ich ja auch verstehen, aber so ... ?
Soll das vielleicht bedeuten, dass die Einheitmatrix um 0-Zeilen/Spalten erweitert wird, um passend für P und Q zu sein ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:21 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
ich bin auch für [mm] PAQ=\pmat{I_r & | & 0 ... 0\\-&-&-\\0...0 & | & 0...0}, [/mm] oder [mm] P(\summe_{i=1}^{r}E_{ii})Q=P\pmat{I_r & | & 0 ... 0\\-&-&-\\0...0 & | & 0...0}Q.
[/mm]
Aus [mm] P(\summe_{i=1}^{r}E_{ii})Q=P\pmat{I_r & | & 0 ... 0\\-&-&-\\0...0 & | & 0...0} [/mm] folgt wegen [mm] \summe_{i=1}^{r}E_{ii}=\pmat{I_r & | & 0 ... 0\\-&-&-\\0...0 & | & 0...0}, [/mm] dass [mm] Q=Id_n.
[/mm]
Zudem muss wegen [mm] m-Zeilen\underbrace{\left\{\pmat{x &... &x\\...&&...\\x &... &x}\right.}_{n-Spalten}*\underbrace{\left.\pmat{x &... &x\\...&&...\\x &... &x}\right\}}_{bel.-Spalten} [/mm] n-Zeilen die Matrix [mm] \summe_{i=1}^{r}E_{ii} [/mm] n-Spalten und m-Zeilen haben.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Sa 23.02.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Zneques,
vielen Dank für Deine Hilfe.
Das leuchtet mir ein ... das muss so sein ... vielen Dank !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Sa 23.02.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Hugo,
vielen Dank für Deine Hilfe !
Ich habe nochmal drüber gebrütet und auch noch einen erklärenden Beitrag zu meiner Frage bekommen - das ist bestimmt so, wie Du sagst.
Vielen Dank !
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Hallo Susanne,
das freut mich, aber die Blumen gebühren Zneques.
Hugo
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