Rang in Abhängigkeit von a < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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N'Abend,
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & a \\ 2 & a-1 & -2 }
[/mm]
1.Zeile (-1) + 2 Z. , 1.Z (-2) + 3 Z
=>
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 0 & 3 & 2+a \\ 0 & 3+a & 2 }
[/mm]
rg A = 3 für [mm] a\not=0,-5 [/mm] , 2 für a=-5 oder a=0
Wie kann ich überprüfen, das für a= -5 der Rang auch 3 ist ? Und für alle übrigen 0. Ich hab mal versucht 3+2+a=0 <=> a=-5 <- das hat funktioniert, ging aber in einer anderen Aufgabe nicht.
Kann bestimmt einer sagen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Di 05.02.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
wenn ich das richtig sehe, dann ist
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 0 & 3 & 2+a \\ 0 & 3+a & 2 }[/mm]
>
> rgA [mm]=\begin{cases} 3, & \mbox{a=0 } \\ , & \mbox{ } n \mbox{} \end{cases}[/mm]
das falsch.
Wenn a=0, dann ist die zweite Zeile gleich der dritten Zeile, also RangA=2 für a=0.
>
> Wie kann ich überprüfen, das für a= -5 der Rang auch 3 ist
> ? Und für alle übrigen 0. Ich hab mal versucht 3+2+a=0
> <=> a=-5 <- das hat funktioniert, ging aber in einer
> anderen Aufgabe nicht.
>
> Kann bestimmt einer sagen ;)
Naja, deine Matrix hat vorneweg Rang 1. Rang 2 hat sie, wenn die zweite Zeile gleich der dritten Zeile ist, d.h., wenn
3=3+a und 2+a=2.
Du kannst dieses Gleichungssystem lösen; es ergibt sich a=0.
Also hat die Matrix nur Rang 2 für a=0. Für alle anderen a ist die zweite Zeile ungleich der dritten Zeile und somit hat A vollen Rang - RangA=3.
Hoffe, es ist - trotz später Stunde - verständlich formuliert 
MfG barsch
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:26 Mi 06.02.2008 | | Autor: | MacChevap |
Siehe Frage-Post auch für a= -5 ist der Rang 2 etc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:19 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Mit Hilfe der Determinate kann man überprüfen, ob ein quadratische Matrix den maximalen Rang hat.
[mm] det(\pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & a \\ 2 & a-1 & -2 })=-2-4a+2-2a+4-a^2+a-4=-a^2-5a
[/mm]
Wenn die Det. Null ergibt, so ist der Rang nicht max., also kleiner als 3.
[mm] -a^2-5a=0 \Rightarrow [/mm] a=0 oder a=-5
Für die beiden Werte muss man nun mit dem Gaußalg. die Anzahl der lin. unabh. Zeilen/Spalten (diejenigen die man nicht auf 0 0 0 setzen kann) herrausfinden, so wie du es gemacht hast.
Ciao.
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