Rang in Abhängigkeit von x,y€R < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei A= [mm] \pmat{ x+2 & 5 & 2x+6 \\ x+y-2 & y+1 & 2y+2 \\ 1 & 1 & x-1 }
[/mm]
Bestimmen Sie Rang A in Abhängigkeit von x,y [mm] \in [/mm] R. |
Guten Morgen,
leider hänge ich an dieser Aufgabe schon seit Montag fest und finde leider auch keine plausible Lösung.
Ich habe gelesen, dass man möglichst versuchen sollte, die Matrix in eine Dreiecksmatrix umzuwandeln bzw. soviele Koeffizienten wie möglich auf 0 zu bringen.
Leider hat das beides nicht so geklappt.
Jetzt war ich noch am Grübeln, die Determinante zu bestimmen, bloß diese sagt mir ja "nur"? aus, ob die Spalten lin. un. sind oder nicht.
Darum würde ich gerne eine Hilfestellung bekommen.
Beste Grüße, Ne0the0ne
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Ne0the0ne |
Hat niemand eine Idee bei der Aufgabe?
|
|
|
| |
|
> Sei A= [mm]\pmat{ x+2 & 5 & 2x+6 \\ x+y-2 & y+1 & 2y+2 \\ 1 & 1 & x-1 }[/mm]
>
> Bestimmen Sie Rang A in Abhängigkeit von x,y [mm]\in[/mm] R.
> Guten Morgen,
> leider hänge ich an dieser Aufgabe schon seit Montag fest
> und finde leider auch keine plausible Lösung.
>
> Ich habe gelesen, dass man möglichst versuchen sollte, die
> Matrix in eine Dreiecksmatrix umzuwandeln bzw. soviele
> Koeffizienten wie möglich auf 0 zu bringen.
Hallo,
ja, den Rat, die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, würde ich Dir auch geben.
Ich würde das so lösen.
> Leider hat das beides nicht so geklappt.
Müßte man mal sehen...
> Jetzt war ich noch am Grübeln, die Determinante zu
> bestimmen, bloß diese sagt mir ja "nur"? aus, ob die
> Spalten lin. un. sind oder nicht.
Ich bin mir nicht sicher, ob "Determinante" hier ein Vergnügen ist. Müßte man mal ausprobieren.
Aber wenn Du damit herausfindest, für welche x,y die Spalten abhängig sind, bist Du ja auch schonmal weiter. Du könntest dann die Matrix für die betreffenden x,y genauer untersuchen.
>
> Darum würde ich gerne eine Hilfestellung bekommen.
Was Du schreibst, klingt doch nicht schlecht.
Nun leg doch mal los, zeig, wie weit Du kommst und sag konret, an welcher Stelle Du Probleme hast.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Also gut.
Ich habe einen kleinen Fortschritt machen können.
Wenn ich die 1.Zeile mit y-4 addiere, werden ein paar Koeffizienten schon mal gleich, also
A*=$ [mm] \pmat{ x+y-2 & y+1 & 2x+y+2 \\ x+y-2 & y+1 & 2y+2 \\ 1 & 1 & x-1 } [/mm] $
Jetzt sieht es schonmal "besser" aus, wie fahre i jetzt am besten fort?
|
|
|
| |
|
> Also gut.
> Ich habe einen kleinen Fortschritt machen können.
>
> Wenn ich die 1.Zeile mit y-4 addiere,
Hallo,
Du meinst, daß Du in der ersten Zeile zu jedem Eintrag y-4 addierst?
Das darfst Du nicht.
Du darfst
Zeilen tauschen,
Zeilen mit einer von 0 verschiedenen Zahl multiplizieren,
Vielfache von Zeilen zu einer anderen Zeile addieren.
Hier dürftest Du z.B. das (y-4)-fache der letzten Zeile zur ersten addieren.
Dabei erhältst Du einen ähnlichen Effekt wie bei Deinem verbotenen Manöver.
LG Angela
> werden ein paar
> Koeffizienten schon mal gleich, also
> A*=[mm] \pmat{ x+y-2 & y+1 & 2x+y+2 \\ x+y-2 & y+1 & 2y+2 \\ 1 & 1 & x-1 }[/mm]
>
> Jetzt sieht es schonmal "besser" aus, wie fahre i jetzt am
> besten fort?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mi 28.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich habe mir mal die Mühe gemacht und detA ausgerechnet:
detA=(x-3)[(y-1)(x-3)-x]
(ohne Gewähr !)
Fall 1: x [mm] \ne [/mm] 3 und y [mm] \ne \bruch{2x-3}{x-3}. [/mm] Dann ist (y-1)(x-3) -x [mm] \ne [/mm] 0.
Also: detA [mm] \ne [/mm] 0 , somit RangA =3.
Fall 2: x=3. In diesem Fall sieht man leicht: RangA=2.
Fall 3: x [mm] \ne [/mm] 3 und y = [mm] \bruch{2x-3}{x-3}. [/mm] Dazu hatte ich keine Lust mehr.
FRED
|
|
|
| |
|
Erstmal vielen lieben Dank für die Antworten.
Dass es mit der Addition leider nicht so einfach klappt habe ich schon vermutet.
Jedenfalls werde ich heute nochmal im Helpdesk die Aufgabe diskutieren und die vorgeschlagenen Lösungen anführen.
Ich möchte noch anmerken, dass eine Kommi und ich gestern versucht haben, die Matrix in eine Dreiecksmatrix umzuformen.
Allerdings kam dann für den Koeffizienten [mm] a_{33} [/mm] ein sehr langer und komplizierter Bruch heraus (dieser passte selbst vereinfacht nicht auf ein querliegendes DINA4 Blatt).
Jetzt meine eigentliche Frage: Wieso kommt man über die Determinanten auf die Lösung? Eine Übungsleiterin meinte, es ginge eher nicht so.
LG Ne0the0ne
|
|
|
| |
|
> Ich möchte noch anmerken, dass eine Kommi und ich gestern
> versucht haben, die Matrix in eine Dreiecksmatrix
> umzuformen.
>
> Allerdings kam dann für den Koeffizienten [mm]a_{33}[/mm] ein sehr
> langer und komplizierter Bruch heraus (dieser passte selbst
> vereinfacht nicht auf ein querliegendes DINA4 Blatt).
Hallo,
warum sollte nicht mal etwas Langes, Kompliziertes, herauskommen?
Vielleicht liegt's auch an Fehlern oder Ungeschiclicheiten?
>
> Jetzt meine eigentliche Frage: Wieso kommt man über die
> Determinanten auf die Lösung?
Wieso nicht?
Wenn man weiß, für welche x,y die Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist, ennt man schonmal die Fälle, in denen der Rang =3 ist,
und die verbleibenden Fälle untersucht man dann halt einzeln, indem man die betreffenden Zahlen in die Matrix einsetzt.
Aber auch hier mußt man sicher einigermaßen geschickt sein beim Aufschreiben der Determinante, weil es sonst schwer ist, die Nullstellen zu finden.
LG Angela
> Eine Übungsleiterin meinte,
> es ginge eher nicht so.
>
> LG Ne0the0ne
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Do 29.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen lieben Dank für die Antworten.
>
> Dass es mit der Addition leider nicht so einfach klappt
> habe ich schon vermutet.
>
> Jedenfalls werde ich heute nochmal im Helpdesk die Aufgabe
> diskutieren und die vorgeschlagenen Lösungen anführen.
>
> Ich möchte noch anmerken, dass eine Kommi und ich gestern
> versucht haben, die Matrix in eine Dreiecksmatrix
> umzuformen.
>
> Allerdings kam dann für den Koeffizienten [mm]a_{33}[/mm] ein sehr
> langer und komplizierter Bruch heraus (dieser passte selbst
> vereinfacht nicht auf ein querliegendes DINA4 Blatt).
>
> Jetzt meine eigentliche Frage: Wieso kommt man über die
> Determinanten auf die Lösung?
Hab ich Dir das nicht hier gezeigt :
https://matheraum.de/read?i=1050280 ?
> Eine Übungsleiterin meinte,
> es ginge eher nicht so.
Eher ..., was bedeutet das ? Vielleicht irrt die Dame ?
FRED
>
> LG Ne0the0ne
|
|
|
| |
|
Erfreuliche Nachricht: Unser Übungsleiter hat heute die Lösungsmethode der gestellten Aufgabe an einer anderen Matrix präsentiert und sie scheint zu funktionieren: man formt die Matrix mittels Gauß in eine Dreiecksmatrix um, überprüft aber jeder "umgestellte" Matrix erneut nach Fallunterscheidungen.
An der Aufgabe sieht das so jetzt so aus:
A= $ [mm] \pmat{ x+2 & 5 & 2x+6 \\ x+y-2 & y+1 & 2y+2 \\ 1 & 1 & x-1 } [/mm] $
Fall 1: x=3 [mm] \wedge [/mm] y=-1 => Rang A = 2
A'= $ [mm] \pmat{ x+2 & 5 & 2x+6 \\ 0 & x-3 & x^{2}-x-8 \\ 0 & x-3 & x^{2}+xy-3x-3y } [/mm] $
Fall 2: x=3 [mm] (\wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] R) => Rang A = 2
A''= $ [mm] \pmat{ x+2 & 5 & 2x+6 \\ 0 & x-3 & x^{2}-x-8 \\ 0 & 0 & xy-2x-3y+8 } [/mm] $
Fall 3: x=0 [mm] \wedge [/mm] y=8/3 => Rang A = 2
Fall 4: x=4 [mm] \wedge [/mm] y=0 => Rang A = 2
Fall 5: [mm] x\not=3 \wedge x\not=0 \wedge x\not=4 [/mm] => Rang A = 3
Jetzt stelle ich mir aber noch die Frage, ob es mehr Lösungen für die Gleichung xy-2x-3y+8=0 gibt. Wie kann ich das am besten überprüfen?
LG Ne0the0ne
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Fr 30.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst dich jedes beliebige y (ausser den vorher ausgeni0mmenen )einsetzen und bekommst ein x, oder x einsetzen und y ausrechnen, also ziemlich viele!
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Das habe ich schon vermutet.
Wie kann ich dann den Fall 3 und 4 präziser bestimmen?
Leider war es in der Übungsaufgabe wirklich eindeutiger.
|
|
|
| |
|
> Das habe ich schon vermutet.
> Wie kann ich dann den Fall 3 und 4 präziser bestimmen?
> Leider war es in der Übungsaufgabe wirklich eindeutiger.
Hallo,
ich finde Deine Fallunterscheidungen unsystematisch.
Ich verstehe z.B. nicht, wieso x=-2 bei Dir nicht untersucht wird.
Ich würde es so angehen:
A= $ [mm] \pmat{ x+2 & 5 & 2x+6 \\ x+y-2 & y+1 & 2y+2 \\ 1 & 1 & x-1 } [/mm] $ --> [mm] \pmat{ 1 & 1 & x-1 \\x+2 & 5 & 2x+6 \\ x+y-2 & y+1 & 2y+2 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 1 & x-1 \\0 & x-3&x^2-x-8 \\ 0 & x-3 & x^2+xy-3x-3y=(x-3)(x+y)}
[/mm]
1. Fall: x=3, dann ist Rang A=2
2. Fall: [mm] x\not=3
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & x-1 \\0 & x-3&x^2-x-8 \\ 0 & x-3 & (x-3)(x+y)} [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 1 & x-1 \\0 & x-3&x^2-x-8 \\ 0 & 1 & x+y} [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 1 & x-1 \\ 0 & 1 & x+y\\0 & x-3&x^2-x-8 } [/mm] ---> [mm] \pmat{ 1 & 1 & x-1 \\ 0 & 1 & x+y\\0 & 0&xy-2x-3y+8 } [/mm]
2a.
xy-2x-3y+8=0 <==> [mm] y=\bruch{2x-8}{x-3},
[/mm]
dann ist Rang A= 2
2b.
[mm] xy-2x-3y+8\not=0 [/mm] <==> [mm] y\not=\bruch{2x-8}{x-3},
[/mm]
dann ist Rang A= 3
LG Angela
|
|
|
|
