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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Rang rg(A)
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Rang rg(A): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:51 So 24.05.2009
Autor: kilchi

Aufgabe
Wie hängt rg (A) von a ab für [mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 } [/mm]

Guten Morgen

Stehe hier gerade voll auf der Leitung und komme einfach nicht weiter... wäre um eine kurze Rückmeldung dankbar!

Ich muss die ganze Matrix auf eine Zeilenstufenform bringen...

[mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a & 1 & 1 } [/mm]

die 3. Zeile bringe ich das a weg indem ich durch a dividiere und anschliessend 3. Zeile minus 1. Zeile rechne

[mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ 0 & 1/a - 1 & 1/a -a } [/mm]

doch wie geht es nun weiter? irgendwie muss ich nun aus 1/a - 1 eine 0 hinkriegen...

        
Bezug
Rang rg(A): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 So 24.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Wie hängt rg (A) von a ab für [mm]\pmat{ 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 }[/mm]
>  
> Guten Morgen
>  
> Stehe hier gerade voll auf der Leitung und komme einfach
> nicht weiter...

Hallo,

im Prinzip fädelst Du es richtig ein.

Aufpassen mußt Du, wenn Du dividierst, die a, für welche Du durch 0 dividieren würdest, mußt Du ausschließen und gesondert untersuchen.

> Ich muss die ganze Matrix auf eine Zeilenstufenform
> bringen...
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 }[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a & 1 & 1 }[/mm]
>  
> die 3. Zeile bringe ich das a weg indem ich durch a
> dividiere

Für [mm] a\not=0. [/mm]

> und anschliessend 3. Zeile minus 1. Zeile rechne
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ 0 & 1/a - 1 & 1/a -a }[/mm]
>  
> doch wie geht es nun weiter? irgendwie muss ich nun aus 1/a
> - 1 eine 0 hinkriegen...

[mm] \bruch{1}{a}-1=\bruch{1-a}{a}, [/mm] und nun multliplizierst Du so, daß Du eine 1 bekommst.


Aber STOP:

Du kannst alles einfacher haben.

Bedenke: die matrix ist invertierbar, also Rang 3, wenn die Determinante ungleich 0 ist.
Berechne die Determinante und für welche a sie =0 wird.
Außerhalb dieser Werte weißt Du sofort Bescheid, und den Rang für die a, für die die det. =0 ist,  untersuchst anschließend.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Rang rg(A): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 So 24.05.2009
Autor: kilchi

Darf ich dich hier was fragen?

Habe soeben in meinen Unterlagen geforscht, leider nichts gefunden...
Wie kann man anhand der Determinante den Rang ablesen? Wenn sie invertierbar ist (d.h. [mm] \not=0), [/mm] kann man da sofort den Rang ablesen?

Muss ich die Matrix nicht zuerst in die Zeilenstufenform bringen?

zu meiner Aufgabe:

Wenn ich die Determinante berechne gibt es 0 = 3a - 2 [mm] -a^3 [/mm]

2 = 3a - [mm] a^3 [/mm]

=> [mm] a_1= [/mm] 1 und [mm] a_2= [/mm] -2

Muss das jetzt einsetzen und die Matrix "neu" auflösen... Nach meinem Prinzip also auf die Zeilenstufenform bringen und dann kann ich den Rang wieder ablesen.

Dann bekäme ich [mm] rg(a_1) [/mm] = 1 und [mm] rg(a_2) [/mm] = 2 oder?

Bezug
                        
Bezug
Rang rg(A): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 So 24.05.2009
Autor: Arcesius


> Darf ich dich hier was fragen?
>  
> Habe soeben in meinen Unterlagen geforscht, leider nichts
> gefunden...
>  Wie kann man anhand der Determinante den Rang ablesen?
> Wenn sie invertierbar ist (d.h. [mm]\not=0),[/mm] kann man da sofort
> den Rang ablesen?

Hallo

Nun, die Determinante und der Rang haben insofern miteinander zu tun, dass der maximale Rang nur erreicht ist, wenn die Determinante ungleich 0 ist.

>  
> Muss ich die Matrix nicht zuerst in die Zeilenstufenform
> bringen?
>  

Ist für die Berechnung der Determinante nicht nötig. Ausserdem müsstest du dann bei Zeilenoperationen je nach dem das Endergebniss anpassen.

> zu meiner Aufgabe:
>  
> Wenn ich die Determinante berechne gibt es 0 = 3a - 2 [mm]-a^3[/mm]
>
> 2 = 3a - [mm]a^3[/mm]
>  
> => [mm]a_1=[/mm] 1 und [mm]a_2=[/mm] -2

Es gibt nicht 0 = [mm] -a^{3} [/mm] + 3a - 2 sondern det(A) = [mm] -a^{3} [/mm] + 3a - 2.
Jetzt hängt der Rang der Matrix insofern mit dieser Gleichung zusammen, als dass:
rang(A) = 3 [mm] \Rightarrow -a^{3} [/mm] + 3a - 2 [mm] \not= [/mm] 0.

Also Rang(A) [mm] \not= [/mm] 3 für [mm] \alpha [/mm] = 1 oder [mm] \alpha [/mm] = -2

> Muss das jetzt einsetzen und die Matrix "neu" auflösen...
> Nach meinem Prinzip also auf die Zeilenstufenform bringen
> und dann kann ich den Rang wieder ablesen.
>  
> Dann bekäme ich [mm]rg(a_1)[/mm] = 1 und [mm]rg(a_2)[/mm] = 2 oder?

Richtig. Somit hast du alle Fälle abgedeckt und deine Aufgabe ist gelöst.

Gruss


Bezug
                        
Bezug
Rang rg(A): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 So 24.05.2009
Autor: leduart

Hallo kilchi
eine gleichung dritten Grades hat wenn sie mehr als eine Nullstelle hat 3 Nullstellen. eine hast du vergessen. (a=-1)
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Rang rg(A): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 So 24.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Hallo kilchi
>  eine gleichung dritten Grades hat wenn sie mehr als eine
> Nullstelle hat 3 Nullstellen. eine hast du vergessen.
> (a=-1)
>  Gruss leduart

Hallo,

nein,

a=-1 ist keine Nullstelle.

Es ist a=1 eine doppelte Nullstelle.

Gruß v. Angela


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