Rang u. Determinante bestimmen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Rang und die Determinante der Matrix
A = [mm] \pmat{ a & b & c & d \\ b & b & c & d \\ c & c & c & d \\ d & d & d & d }
[/mm]
in Abhängigkeit von a, b, c, d [mm] \in \IR. [/mm] |
Hey!!
Ich hab die Aufgabe nun selbst gemacht und würde mich freuen, wenn mir jemand meine Fehler korrigieren könnte bzw mir sagen könnte, ob und was ich falsch gemacht hab!=)
ich hab
det(A) = det [mm] \pmat{ a & b & c & d \\ b & b & c & d \\ c & c & c & d \\ d & d & d & d } [/mm]
= det [mm] \pmat{ a - b & 0 & 0 & 0 \\ b - c & b - c & 0 & 0 \\ c - d & c - d & c - d & 0 \\ d & d & d & d }
[/mm]
= det [mm] \pmat{ a - b & b - c & c - d & d \\ 0 & b - c & c - d & d \\ 0 & 0 & c - d & d \\ 0 & 0 & 0 & d }
[/mm]
det(A) = (a - b)(b - c)(c-d)d
1. Fall
det(A) [mm] \ne [/mm] 0 und Rang(A)= 4 für a [mm] \ne [/mm] b, b [mm] \ne [/mm] c, c [mm] \ne [/mm] d und d [mm] \ne [/mm] 0
2. Fall
det(A) = 0 und Rang(A) = 3
1) d = 0 und a [mm] \ne [/mm] b, b [mm] \ne [/mm] c, c [mm] \ne [/mm] d v
2) a = b und b [mm] \ne [/mm] c, c [mm] \ne [/mm] d, d [mm] \ne [/mm] 0 v
3) b = c und a [mm] \ne [/mm] b, c [mm] \ne [/mm] d, d [mm] \ne [/mm] 0 v
4) c = d und a [mm] \ne [/mm] b, b [mm] \ne [/mm] c, d [mm] \ne [/mm] 0
3. Fall
det(A) = 0 und Rang = 2
1) a = b, b = c und c [mm] \ne [/mm] d, d [mm] \ne [/mm] 0 v
2) a = b, c = d und b [mm] \ne [/mm] c, d [mm] \ne [/mm] 0 v
3) a = b, d = 0 und b [mm] \ne [/mm] c, c [mm] \ne [/mm] d v
4) b = c, c = d und a [mm] \ne [/mm] b, d [mm] \ne [/mm] 0 v
5) b = c, d = 0 und a [mm] \ne [/mm] b, c [mm] \ne [/mm] d v
6) c = d, d = 0 und a [mm] \ne [/mm] b, b [mm] \ne [/mm] c
4. Fall
det(A) = 0 und Rang(A)= 1
1) a = b, b = c, c = d und d [mm] \ne [/mm] 0 v
2) a = b, b = c, d = 0 und c [mm] \ne [/mm] d v
3) a = b, c = d, d = 0 und b [mm] \ne [/mm] c v
4) b = c, c = d, d = 0 und a [mm] \ne [/mm] b
5. Fall
det(A) = 0 und Rang(A) = 0
für a=b=c=d=0
Vielen Dank schon einmal im Voraus!!
Liebe Grüße,
Julia
|
|
| |
|
Hallo Stern1605,
> Bestimmen Sie den Rang und die Determinante der Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ a & b & c & d \\ b & b & c & d \\ c & c & c & d \\ d & d & d & d }[/mm]
>
> in Abhängigkeit von a, b, c, d [mm]\in \IR.[/mm]
> Hey!!
> Ich hab die Aufgabe nun selbst gemacht und würde mich
> freuen, wenn mir jemand meine Fehler korrigieren könnte
> bzw mir sagen könnte, ob und was ich falsch gemacht
> hab!=)
>
> ich hab
>
> det(A) = det [mm]\pmat{ a & b & c & d \\ b & b & c & d \\ c & c & c & d \\ d & d & d & d }[/mm]
>
> = det [mm]\pmat{ a - b & 0 & 0 & 0 \\ b - c & b - c & 0 & 0 \\ c - d & c - d & c - d & 0 \\ d & d & d & d }[/mm]
>
> = det [mm]\pmat{ a - b & b - c & c - d & d \\ 0 & b - c & c - d & d \\ 0 & 0 & c - d & d \\ 0 & 0 & 0 & d }[/mm]
>
> det(A) = (a - b)(b - c)(c-d)d
>
> 1. Fall
> det(A) [mm]\ne[/mm] 0 und Rang(A)= 4 für a [mm]\ne[/mm] b, b [mm]\ne[/mm] c, c [mm]\ne[/mm] d
> und d [mm]\ne[/mm] 0
>
> 2. Fall
> det(A) = 0 und Rang(A) = 3
>
> 1) d = 0 und a [mm]\ne[/mm] b, b [mm]\ne[/mm] c, c [mm]\ne[/mm] d v
> 2) a = b und b [mm]\ne[/mm] c, c [mm]\ne[/mm] d, d [mm]\ne[/mm] 0 v
> 3) b = c und a [mm]\ne[/mm] b, c [mm]\ne[/mm] d, d [mm]\ne[/mm] 0 v
> 4) c = d und a [mm]\ne[/mm] b, b [mm]\ne[/mm] c, d [mm]\ne[/mm] 0
>
> 3. Fall
> det(A) = 0 und Rang = 2
>
> 1) a = b, b = c und c [mm]\ne[/mm] d, d [mm]\ne[/mm] 0 v
> 2) a = b, c = d und b [mm]\ne[/mm] c, d [mm]\ne[/mm] 0 v
> 3) a = b, d = 0 und b [mm]\ne[/mm] c, c [mm]\ne[/mm] d v
> 4) b = c, c = d und a [mm]\ne[/mm] b, d [mm]\ne[/mm] 0 v
> 5) b = c, d = 0 und a [mm]\ne[/mm] b, c [mm]\ne[/mm] d v
> 6) c = d, d = 0 und a [mm]\ne[/mm] b, b [mm]\ne[/mm] c
>
> 4. Fall
> det(A) = 0 und Rang(A)= 1
>
> 1) a = b, b = c, c = d und d [mm]\ne[/mm] 0 v
> 2) a = b, b = c, d = 0 und c [mm]\ne[/mm] d v
> 3) a = b, c = d, d = 0 und b [mm]\ne[/mm] c v
> 4) b = c, c = d, d = 0 und a [mm]\ne[/mm] b
>
> 5. Fall
> det(A) = 0 und Rang(A) = 0
> für a=b=c=d=0
>
Das ist alles ricihtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank schon einmal im Voraus!!
>
> Liebe Grüße,
>
> Julia
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Di 22.03.2011 | | Autor: | Stern1605 |
Vielen Dank für deine Mühe!!
|
|
|
|
