Rang von Matrizen ? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Es seien
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & -7 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & 6 & 7 } [/mm] und B = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 }
[/mm]
Berechnen Sie rg (A), rg (B) und rg (A*B) ! |
| Aufgabe 2 | Es sei c eine Basis des Vektorraums W, a eine Basis des Vektorraums V und f: W [mm] \to [/mm] V linear mit [mm] [\bruch{f(c)}{a}] [/mm] = [mm] \pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & -2 & 0 & 1 \\ 6 & -4 & -4 & 2 & -2 } [/mm] .
Berechnen sie den Rang von f und die Dimension des Kerns von f ! |
Hallo zusammen !
Ist eigentlich ne ganz einfache Aufgabe, hab ich auch schon selbst gelöst, wäre trotzdem nett von euch, wenn mir hier einer noch die ein oder andere Hilfestellung geben würde, und es vielleicht sogar nachrechnen würde !?!
Hab sowas auch noch nie selbst gemacht, deshalb jetzt meine Frage ... !
Also muss ja den Rang der Matrix A bestimmen, muss jetzt per Gauss - Eliminationsverfahren soweit umformen, daß die Matrix eine Trapezform hat !? (stand zumindest so in meinem schlauen Mathe - Buch ... )
A) [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & -7 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & 6 & 7 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & -7 & 3 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & 5 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & 5 & 5 \\ 0 & -5 & 5 & 5 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Habe somit eine Trapezform erreicht ==> rg (A) = 2 !?
B) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 3 & -1 \\ 0 & -5 & 2 & -7 \\ 0 & 1 & 1 & 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 3 & -1 \\ 0 & -5 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & 7 & -7 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 6 & 3 & -1 \\ 0 & -5 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & 7 & -7 } [/mm]
Naja, irgendwie kann man hier nicht weiter umformen ==> rg (B) = 4 !?
A*B) Kann man den Rang dieser Matrix irgendwie direkt sehen ? Oder muss ich die Matrix A*B erst ausmultiplizieren ?
Ausmultiplizeirt wärs : A*B = [mm] \pmat{ 2 & 7 & 7 & 4 \\ 11 & -34 & -14 & 2 \\ 17 & -13 & 7 & 14 } [/mm] !?
[mm] \pmat{ 2 & 7 & 7 & 4 \\ 11 & -34 & -14 & 2 \\ 17 & -13 & 7 & 14 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 2 & 7 & 7 & 4 \\ 187 & -587 & -238 & 34 \\ 187 & -143 & 77 & 154 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 2 & 7 & 7 & 4 \\ 187 & -587 & -238 & 34 \\ 0 & 444 & 315 & 120 }
[/mm]
auch hier komm ich mitm Umformen nicht weiter !? rg (A*B) = 3 !?
Zur 2. Aufgabe:
[mm] \pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & -2 & 0 & 1 \\ 6 & -4 & -4 & 2 & -2 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ 6 & -4 & -4 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & -2 & 0 & 1 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ -4 & 0 & -8 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & -2 & 0 & 1 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ -4 & 0 & -8 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -8 & -32 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Hier hab ich ne Trapezform erreicht ==> rg = 2 !?
Bei der Dimension des Kerns hab ich was im Netz über so ne Dimensionsformel gefunden: dim ker = dim V - dim Bild
Hier wäre dim V = 5 und dim Bild = 2 ? Wäre damit dim ker (f) = 3 ?
Wäre nett, wenn mir einer ein bisschen bei der Aufklärung helfen würde, damit ich es auch irgendwie verstehe !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
Vielen Dank und liebe Grüße
J.
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Hallo Julchen,
> Also muss ja den Rang der Matrix A bestimmen, muss jetzt
> per Gauss - Eliminationsverfahren soweit umformen, daß die
> Matrix eine Trapezform hat !? (stand zumindest so in meinem
> schlauen Mathe - Buch ... )
Das Mathe-Buch ist schlau - stimmt.
> A) [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & -7 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & 6 & 7 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & -7 & 3 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & 5 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & 5 & 5 \\ 0 & -5 & 5 & 5 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Habe somit eine Trapezform erreicht ==> rg (A) = 2 !?
Richtig!
> B) [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 3 & -1 \\ 0 & -5 & 2 & -7 \\ 0 & 1 & 1 & 0 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 3 & -1 \\ 0 & -5 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & 7 & -7 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 6 & 3 & -1 \\ 0 & -5 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & 7 & -7 }[/mm]
>
> Naja, irgendwie kann man hier nicht weiter umformen ==> rg
> (B) = 4 !?
Leider nein, denn du kannst die dritte Zeile mit Hilfe der zweiten noch eliminieren [mm] (\bruch{6}{5}III+II [/mm] zum Beispiel). Damit kannst du dann noch die vierte Zeile bearbeiten. Erst dann hast du Trapezform (übrigens auch Zeilenstufenform genannt) und kannst den Rang ablesen.
> A*B) Kann man den Rang dieser Matrix irgendwie direkt sehen
> ? Oder muss ich die Matrix A*B erst ausmultiplizieren ?
Puh, das müsste ich mir erst nochmal genau überlegen, aber so spontan würde ich sagen du solltest es ausrechnen.
> Ausmultiplizeirt wärs : A*B = [mm]\pmat{ 2 & 7 & 7 & 4 \\ 11 & -34 & -14 & 2 \\ 17 & -13 & 7 & 14 }[/mm]
> !?
>
>
> [mm]\pmat{ 2 & 7 & 7 & 4 \\ 11 & -34 & -14 & 2 \\ 17 & -13 & 7 & 14 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 2 & 7 & 7 & 4 \\ 187 & -587 & -238 & 34 \\ 187 & -143 & 77 & 154 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 2 & 7 & 7 & 4 \\ 187 & -587 & -238 & 34 \\ 0 & 444 & 315 & 120 }[/mm]
>
> auch hier komm ich mitm Umformen nicht weiter !? rg (A*B) =
> 3 !?
Wie eben: nein. Du kannst [mm] \bruch{2}{187}II-I [/mm] rechnen und hast damit die zweite Zeile eliminiert (also die 187 meine ich natürlich) und kannst dann auch noch die dritte bearbeiten.
> Zur 2. Aufgabe:
>
> [mm]\pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & -2 & 0 & 1 \\ 6 & -4 & -4 & 2 & -2 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ 6 & -4 & -4 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & -2 & 0 & 1 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ -4 & 0 & -8 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & -2 & 0 & 1 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ -4 & 0 & -8 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> --> [mm]\pmat{ 5 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -8 & -32 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Hier hab ich ne Trapezform erreicht ==> rg = 2 !?
Hier gebe ich dir Recht!
> Bei der Dimension des Kerns hab ich was im Netz über so ne
> Dimensionsformel gefunden: dim ker = dim V - dim Bild
>
> Hier wäre dim V = 5 und dim Bild = 2 ? Wäre damit dim ker
> (f) = 3 ?
Vorsicht!!! Die Dimensionsformel gilt für f: [mm] V\to [/mm] W. In deiner Aufgabe ist f: [mm] W\to [/mm] V!!!
In deinem Fall gilt also dim W = dim(ker(f)) + dim(Im(f)) und der Rang ist ja die Dimension des Bildes. Ansonsten hättest du richtig gerechnet.
> Wäre nett, wenn mir einer ein bisschen bei der Aufklärung
> helfen würde, damit ich es auch irgendwie verstehe !
Ich hoffe, dass ich dich genügend aufgeklärt habe ;)
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