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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 Mo 16.01.2012 | | Autor: | hilbert |
Folgendes ist zu zeigen:
rg(A*B) [mm] \le [/mm] min(rg(A),rg(B))
Logisch erscheint mir diese Aufgabe, jedoch weiß ich nicht genau wie ich sie zeigen soll.
Lässt sich das über die Dimension der von A*B,A bzw B induzierten Abbildung [mm] f_A [/mm] besser zeigen?
Oder mit Anzahl an linear unabhängigen Vektoren argumentieren?
Bitte "nur" um einen kleinen Ansatz =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Lippel |
Hi,
> Folgendes ist zu zeigen:
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> rg(A*B) [mm]\le[/mm] min(rg(A),rg(B))
>
> Logisch erscheint mir diese Aufgabe, jedoch weiß ich nicht
> genau wie ich sie zeigen soll.
>
> Lässt sich das über die Dimension der von A*B,A bzw B
> induzierten Abbildung [mm]f_A[/mm] besser zeigen?
Damit gehts zum Beispiel. Es ist [mm] $rg\;A= dim(bild(f_A))$ [/mm] (analog natürlich für die anderen Matrizen) und $A*B$ induziert die Abbildung [mm] $f_A \circ f_B$.
[/mm]
Dann kannst du die Dimensionsformel für lineare Abbildungen verwenden. Kommst du damit weiter?
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:22 Mo 16.01.2012 | | Autor: | hilbert |
Was mir jetzt nur einfällt wäre: wenn dim V < [mm] \infty
[/mm]
[mm] dim(Im(f_A))=dim [/mm] V - [mm] dim(ker(f_A))
[/mm]
[mm] dim(Im(f_B))=dimV [/mm] - [mm] dim(ker(f_B))
[/mm]
[mm] dim(Im(f_A \circ f_B) [/mm] = dimV - [mm] dim(ker(f_A \circ f_B))
[/mm]
eine andere Dimensionsformel kenne ich nicht.
Hier käme ich dann nur auf so Sachen wie
[mm] dim(Im(f_A)) [/mm] + [mm] dim(ker(f_A)) [/mm] = [mm] dim(Im(f_A \circ f_B) [/mm] + [mm] dim(ker(f_A \circ f_B))
[/mm]
Steh gerade leider aufm Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] Im(f_A \circ f_B) \subseteq Im(f_A)
[/mm]
und
[mm] kern(f_B) \subseteq kern(f_A \circ f_B)
[/mm]
Hilft das ?
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