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| Aufgabe | Geben Sie eine rationale Funktion an, die eine Polstelle bei x = 2 hat und eine weitere Polstelle bei x = 4 hat und eine Nullstelle bei x = 3 hat und für x [mm] \rightarrow \pm \infty [/mm] die Asymptote x² hat. Geben Sie diese Funktion als Bruch
Polynom
-----------
Polynom
an und schreiben Sie diese Funktion außerdem mit Hilfe von Partialbrüchen. |
Hallo Leute,
ich habe die oben genannte Aufgabe bekommen.
Habe mich mit dieser Aufgabe beschäftigt und habe bis jetzt folgendes raus:
Meine Lösung:
Gesucht ist eine rationale Funktion mit folgenden Eigenschaften:
- an x=2 einfache Polstelle
- an x=4 einfache Polstelle
- an x=3 einfache Nullstelle
- Asymptote x² für x [mm] \rightarrow \pm \infty
[/mm]
Eine allgemeine rationale Funktion sieht so aus: [mm] \frac{p(x)}{q(x)}
[/mm]
[mm] \frac{p(x)}{q(x)} [/mm] = Ergebnis der Polynomdivision(x) + [mm] \frac{Rest(x)}{q(x)}
[/mm]
Ergebnis der Polynomdivision(x) --> das ist die Asymptote für x [mm] \rightarrow \pm \infty
[/mm]
in unserem Fall ist "Ergebnis der Polynomdivision" x²
Weil als Polstelle x=2 und x=4 steht, habe ich bei [mm] \frac{Rest(x)}{q(x)} \rightarrow \frac{Rest(x)}{(x-2)(x-4)} [/mm] stehen.
Dann habe ich rausgefunden, dass [mm] \frac{Rest(x)}{(x-2)(x-4)} [/mm] gegen 0 gehen soll.
Also:
[mm] 0=x^2 [/mm] + [mm] \frac{const.}{(x-2)(x-4)}
[/mm]
Wenn wir für x eine 3 einsetzen, haben wir folgendes:
0= [mm] 3^2 [/mm] + [mm] \frac{const.}{(3-2)(3-4)} [/mm] = 9 + [mm] \frac{const.}{-1}
[/mm]
Also müsste die konstante Zahl eine 9 sein, damit es 0 wird.
Nun habe ich das hier:
[mm] f(x)=x^2 [/mm] + [mm] \frac{9}{(x-2)(x-4)}
[/mm]
Weil wir eine rationale Funktion haben wollen, müssen wir das ja umformen und alles unter einem Nenner bringen. Das habe ich auch gemacht:
[mm] =\frac{x^2(x-2)(x-4)+9}{(x-2)(x-4)}
[/mm]
Ausmultiplizieren:
[mm] =\frac{x^4-6x^3+8x^2+9}{(x-2)(x-4)}
[/mm]
Was mache ich jetzt? Wie komme ich zur Lösung und was mache ich mit den Partialbrüchen (siehe Aufgabenstellung)?
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Hallo matthias87,
> Geben Sie eine rationale Funktion an, die eine Polstelle
> bei x = 2 hat und eine weitere Nullstelle bei x = 4 hat und
Ist hier x=4 eine weitere Polstelle gemeint?
Dann kannst Du nämlich so eine Funktion konstruieren.
> eine Nullstelle bei x = 3 hat und für x -> +- unendlich
> die Asymptote x² hat. Geben Sie diese Funktion als Bruch
>
> Polynom
> -----------
> Polynom
>
> an und schreiben Sie diese Funktion außerdem mit Hilfe von
> Partialbrüchen.
> Hallo Leute,
>
> ich habe die oben genannte Aufgabe bekommen.
> Habe mich mit dieser Aufgabe beschäftigt und habe bis
> jetzt folgendes raus:
>
> Gesucht ist eine rationale Funktion mit folgenden
> Eigenschaften:
> - an x=3 einfache Nullstelle
> - an x=4 einfache Nullstelle
> - an x=2 einfache Polstelle
> - Asymptote x² für x -> +- unendlich
>
> Eine allgemeine rationale Funktion sieht so aus:
> [mm]\frac{p(x)}{q(x)}[/mm]
>
> [mm]\frac{p(x)}{q(x)}[/mm] = Ergebnis der Polynomdivision(x) +
> [mm]\frac{Rest(x)}{q(x)}[/mm]
>
> Ergebnis der Polynomdivision(x) --> das ist die Asymptote
> für x [mm]\rightarrow \pm \infty[/mm]
> in unserem Fall ist
> "Ergebnis der Polynomdivision" x²
> Die Asymptote wäre z.B. bei 12/5 = 2 + 2/5 die 2 und 2/5
> wäre Rest(x)/q(x)
>
> Weil als Polstelle x=2 steht, habe ich bei Rest(x)/q(x)
> ---> Rest(x)/x-2 stehen.
>
> Dann habe ich rausgefunden, dass Rest(x)/x-2 gegen 0 gehen
> soll.
> Also:
> [mm]0=x^2[/mm] + [mm]\frac{const.}{x-2}[/mm]
>
> Wenn wir für x eine 3 einsetzen, haben wir folgendes:
> 0= [mm]3^2[/mm] + [mm]\frac{const.}{3-2}[/mm] = 9 + [mm]\frac{const.}{1}[/mm]
>
> Also müsste die konstante Zahl eine -9 sein, damit es 0
> wird.
>
> Nun habe ich das hier:
> [mm]x^2[/mm] + [mm]\frac{-9}{x-2}[/mm]
>
> Wenn wir dann eine rationale Funktion haben wollen, müssen
> wir das ja umformen. Das habe ich auch gemacht:
> [mm]=\frac{x^3-2x^2+2x-4+(-9)}{x-2}[/mm]
>
> [mm]=\frac{x^3-2x^2+2x-13}{x-2}[/mm]
>
> Jetzt komme ich nicht weiter. Wir brauchen ja um die
> Nullstelle zu finden z.B. sowas bzw. diese Form:
> [mm]=\frac{(x-2)(x-5)(x+3)}{x-4}[/mm] (jetzt nur als Beispiel
> gedacht)
>
> Wie mache ich weiter?
>
> Ich hoffe es gibt jemanden, der mich versteht und mir
> weiterhilft...
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Mo 01.07.2013 | | Autor: | matthias87 |
Soo, habe die Aufgabe korrigiert und nochmal gerechnet. Und jetzt? Wie geht es weiter?
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> Geben Sie eine rationale Funktion an, die eine Polstelle
> bei x = 2 hat und eine weitere Polstelle bei x = 4 hat und
> eine Nullstelle bei x = 3 hat und für x [mm]\rightarrow \pm \infty[/mm]
> die Asymptote x² hat. Geben Sie diese Funktion als Bruch
>
> Polynom
> -----------
> Polynom
>
> an und schreiben Sie diese Funktion außerdem mit Hilfe von
> Partialbrüchen.
> [...]
>
> Nun habe ich das hier:
> [mm]f(x)=x^2[/mm] + [mm]\frac{9}{(x-2)(x-4)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{x^4-6x^3+8x^2+9}{(x-2)(x-4)}[/mm]
>
> Was mache ich jetzt?
Hallo,
erstmal freuen: Du hast eine Funktion, die tut, was sie soll, Du hast sie sogar als Bruch von zwei Polynomen geschreiben.
(Ob Du "unten" auch noch ausmultiplizieren sollst, weiß ich nicht. Ich würds vielleicht zusätzlich noch machen.)
> Wie komme ich zur Lösung und was
> mache ich mit den Partialbrüchen (siehe Aufgabenstellung)?
Berechne, wie Du [mm] \frac{9}{(x-2)(x-4)} [/mm] schreiben kannst als
[mm] \frac{9}{(x-2)(x-4)}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-4)}.
[/mm]
LG Angela
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