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Im Anschluss an eine Diskussion über Integrierbarkeit
hatte ich schon ein paar Grafiken erstellt, in denen
die rationalen Zahlen zwischen Null und Eins dargestellt
werden. Eine der darin erkennbaren Strukturen habe ich
jetzt weiter untersucht und möchte eines der Ergebnisse
als Anregung für eigene Untersuchungen und quasi als
Ostergeschenk für alle Mathe-Fans weitergeben.
Man kann alle rationalen Zahlen zwischen Null und Eins in
einem binären Baum darstellen, so dass jeder solchen Zahl
genau ein Knoten des (unendlichen) Baumes entspricht.
In diesem Baum sind die Zahlen von links nach rechts in
ihrer natürlichen Reihenfolge angeordnet.
Nachdem ich mir überlegt hatte, wie man aus einer Zahl und
ihrer Vorgängerzahl ihre beiden Nachfolgerzahlen berechnet,
lag es nahe, das Ganze mittels eines Programms zu realisieren.
Das Ergebnis war das folgende Blatt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich lade euch ein, euch etwas Zeit zu gönnen, um den Baum
und die darin erkennbaren Regelmässigkeiten zu studieren.
Damit man wirklich alles entziffern kann, empfiehlt es sich,
die Grafik auszudrucken !
Man findet darin verschiedene Arten von Zahlenfolgen, zum
Beispiel auch solche mit den Fibonaccizahlen als Zähler und
Nenner. Die Null und die Eins habe ich aus der Grafik wegge-
lassen. Um den Rechenprozess in Gang zu bringen, braucht
man aber für die Zahl 1/2 eine Vorgängerzahl. Interessan-
terweise ist es rechnerisch einerlei, ob man dafür die Null
(= 0/1) oder die Eins (= 1/1) wählt ! Sowas von absoluter
Gleichberechtigung haben wir in unseren Demokratien noch
längst nicht realisiert ...
Viele Grüße
Al-Chwarizmi
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Leider klappte es mit dem Hochladen der Grafik nicht so,
wie ich beabsichtigt habe. Die Qualität bleibt mangelhaft,
und man kann nicht wirklich alles lesen. Wer eine bessere
Version möchte, kann mich mit persönlicher Nachricht um
ein Mail mit einer perfekten Version der Grafik bitten.
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pict) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Fr 10.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Interessant ist auch Folgendes:
Wende mal deine Rechenregeln auf die "Geschwister" an (z.B. 5/9 und 7/12).
Dann muss man die Brüche noch entsprechend kürzen.
Und landet bei den "Eltern", "Großeltern", "Urgroßeltern" etc.
(hier: 4/7 , 3/5 und 1/2)
Schlussfolgerung: Ähnlich wie alle Menschen über Adam und Eva miteinander verwandt sind, sind auch alle Zahlen miteinander verwandt.
Vielleicht kriegt man die reellen Zahlen da auch noch mit rein. Wäre doch schön, wenn sich [mm] \pi [/mm] letztendlich als die uneheliche Tochter von [mm] \wurzel{2} [/mm] rausstellen sollte....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Fr 10.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Interessant ist auch Folgendes:
>
> Wende mal deine Rechenregeln auf die "Geschwister" an (z.B.
> 5/9 und 7/12).
> Dann muss man die Brüche noch entsprechend kürzen.
>
> Und landet bei den "Eltern", "Großeltern", "Urgroßeltern"
> etc.
> (hier: 4/7 , 3/5 und 1/2)
Auch nett.
>
>
> Schlussfolgerung: Ähnlich wie alle Menschen über Adam und
> Eva miteinander verwandt sind, sind auch alle Zahlen
> miteinander verwandt.
>
> Vielleicht kriegt man die reellen Zahlen da auch noch mit
> rein. Wäre doch schön, wenn sich [mm]\pi[/mm] letztendlich als die
> uneheliche Tochter von [mm]\wurzel{2}[/mm] rausstellen sollte....
Auweia. Das würde aber einiges in der Familie durcheinanderbringen.....
Marius
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Hallo rabilein,
mir ist schon bewusst, dass man in den Baum noch
weitere Verbindungskanten einzeichnen kann, die
ebenfalls Sinn machen. Hauptsächlich ging es mir
aber darum, den Binärbaum darzustellen, in welchem
die Menge [mm] \IQ\cap(0,1) [/mm] dargestellt ist.
Die irrationalen Zahlen können in diesem Baum
eigentlich nicht Knotenpunkte sein, aber man
könnte jeder irrationalen Zahl in $\ [mm] (0\,,1)$ [/mm] einen "Pfad"
des Baumes zuordnen, der auf sie hinweist. Ein Bei-
spiel: Der Zick-Zack-Pfad
$\ [mm] (1/2)\to(2/3)\to(3/5)\to(5/8)\to(8/13)\to [/mm] ...$
definiert eine Zahlenfolge mit dem irrationalen Grenzwert
[mm] $\varphi\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\wurzel{5}-1}{2}\ \approx\ [/mm] 0.618...$
Dies ist die Zahl des Goldenen Schnitts. Nimmst du
stattdessen den ebenso zickigen, aber nur halb so
zickzackigen Weg "zickzickzackzackzickzickzackzack..."
so kommst du im Limes zur Zahl [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] .
Für deine geplanten Nachforschungen über die Genea-
logie von [mm] \pi [/mm] (wie bist du übrigens darauf gekommen,
dass [mm] \pi [/mm] weiblich sein soll ?) müsstest du natürlich zuerst
klare Begriffe bezüglich der Verwandtschaft und solcher
Begriffe wie "ehelich" bzw. "unehelich" einführen ... 
In diesem Sinne: schöne Oster- und überhaupt Frühlingstage !
Al
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> Interessant ist auch Folgendes:
>
> Wende mal deine Rechenregeln auf die "Geschwister" an (z.B.
> 5/9 und 7/12).
> Dann muss man die Brüche noch entsprechend kürzen.
>
> Und landet bei den "Eltern", "Großeltern", "Urgroßeltern"
> etc.
> (hier: 4/7 , 3/5 und 1/2)
Hallo Ralph,
Zwar habe ich gemerkt, dass du mit diesem Tipp gar
keine neuen Kanten in den Baum einfügen willst, wie
ich zuerst gedacht hatte.
Ein ganz eindeutiges Prinzip (das sich an beliebiger
Stelle im Baum anwenden liesse) kann ich aber aus
deinem Hinweis noch nicht entnehmen.
Sehr gut wäre allerdings ein Rezept dafür, wie man aus
dem Zahlenwert eines Knotens ohne weitere Informa-
tionen (z.B. über die "Geschwisterzahl") die Vorgängerzahl
ermitteln könnte. Ich würde mir ein solches Rezept
wünschen, das einfacher ist als die "brute force" Methode,
den gesamten Baum bis dahin zu berechnen.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Fr 10.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Sehr gut wäre allerdings ein Rezept dafür, wie man aus
> dem Zahlenwert eines Knotens ... die Vorgängerzahl
> ermitteln könnte.
Woher weißt du denn, dass jede rationale Zahl überhaupt irgendwo in dem Baum vorkommt, wenn du andererseits gar nicht weißt, wo eine bestimmte Zahl steht (d.h.wenn du nicht weißt, wer ihre "Eltern" (Vorgängerzahl) sind?
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> > Sehr gut wäre allerdings ein Rezept dafür, wie man aus
> > dem Zahlenwert eines Knotens ... die Vorgängerzahl
> > ermitteln könnte.
>
> Woher weißt du denn, dass jede rationale Zahl überhaupt
> irgendwo in dem Baum vorkommt, wenn du andererseits gar
> nicht weißt, wo eine bestimmte Zahl steht (d.h.wenn du
> nicht weißt, wer ihre "Eltern" (Vorgängerzahl) sind?
Da steckt ein Stück weit pure Intuition dahinter, die
ich aus der Betrachtung der früheren Grafiken
gewonnen habe (siehe den früher angegebenen Link !).
Nach einigem Zögern (ich wollte mich durch das Vor-
wissen anderer nicht beeinflussen lassen) habe ich doch
mal im Netz nachgeschaut, was sich andere dazu schon
überlegt haben. Dies geschah auch tatsächlich schon im
19. Jahrhundert, und dort (und in der Nachfolge) finden
sich auch die Beweise für die vollständige und eindeutige
Abdeckung der rationalen Zahlen.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Sa 11.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
FRAGE:
Lässt sich denn wenigstens das "Geschlecht" eines Bruches schnell und mühelos bestimmen (wenn man schon Probleme hat, seine "Eltern" zu finden)
Männlicher Bruch: Ergebnis der Addition von Nenner und Zähler
Weiblicher Bruch: Ergebnis der Differenz-Addition
DAHER SEI DIE ZUSATZFRAGE ERLAUBT:
Welches "Weibchen" in 4. Generation hat nur "männliche" Vorfahren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Sa 11.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Wie Al-Chwarizmi schrieb, kommt jeder Bruch einmal vor.
Auf dem Pfad dorthin wird für die weibliche Variante eine NULL vergeben und für diemännliche Variante eine EINS.
Das ist der CODE des Bruches.
Somit kann nun jedem Bruch ein eindeutiger Code zugeordnet werden und jedem Code ein eindeutiger Bruch.
Wenn es jetzt gelingt, eine Formel zu entwickeln, wie aus einem Code ein Bruch wird und umgekehrt, dann wäre das Eltern-Problem gelöst:
Beispiel:
Ein Bruch - das Mädchen - hat den Code 0010110.
Dann ist sein Vater 001011. Der Großvater ist 00101. Die Urgroßmutter ist 0010 usw.
(Die letzte Ziffer gibt an, ob der Bruch männlich oder weiblich ist)
Bestimmt wird irgendein Mathematiker des 21. Jahrhunderts eine solche Formel finden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> Somit kann nun jedem Bruch ein eindeutiger Code zugeordnet
> werden und jedem Code ein eindeutiger Bruch.
>
> Wenn es jetzt gelingt, eine Formel zu entwickeln, wie aus
> einem Code ein Bruch wird und umgekehrt, dann wäre das
> Eltern-Problem gelöst
Wie aus einem Code der zugehörige Bruch berechnet wird,
ist eigentlich schon klar. Nur die Umkehrung ist leider nicht
so leicht zu bewerkstelligen.
Sollte dies gelingen, wäre meine nächste Frage, wie sich
die Rechenoperationen (Addition, Multiplikation) im Rahmen
dieser Codierung darstellen. Dies wird bestimmt nicht einfacher,
sondern im Gegenteil wesentlich komplexer als die Rechnungen
mit den üblichen Binärzahlen. Ziel wäre aber auch nicht die
Entwicklung neuer Rechenmethoden, sondern ein tieferer
Einblick in die Struktur der rationalen Zahlen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Sa 11.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Sollte dies gelingen, wäre meine nächste Frage, wie sich
> die Rechenoperationen (Addition, Multiplikation) im
> Rahmen dieser Codierung darstellen.
Mit den Codes zu rechnen, ist doch kein Problem:
0 + 0 = 1
01 + 01 = 100
000 + 01 = 11
00 + 011 = 111
Wir tun uns hiermit noch etwas schwer. Aber nachfolgende Generationen werden mit diesen Codes genau so locker umgehen wie die heutigen Kids mit dem Computer. Die hundert wichtigsten Codes und deren Operationen hat man ohnehin im Kopf.
Außerdem sind die meisten Additionen gar nicht zulässig.
Was wäre denn z.B. 101 + 110 ?
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> > Sollte dies gelingen, wäre meine nächste Frage, wie sich
> > die Rechenoperationen (Addition, Multiplikation) im
> > Rahmen dieser Codierung darstellen.
>
> Mit den Codes zu rechnen, ist doch kein Problem:
> 0 + 0 = 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 01 + 01 = 100 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> 000 + 01 = 11
> 00 + 011 = 111
Sorry, aber ich glaube, der Baum, den du grafisch so super
dargestellt hast, entspricht nicht dem, von welchem wir
eigentlich ausgegangen sind ...
> Außerdem sind die meisten Additionen gar nicht zulässig.
> Was wäre denn z.B. 101 + 110 ?
Ich hätte natürlich einmal noch festhalten sollen, dass
die Addition von zwei Zahlen aus (0,1) auch aus diesem
Intervall hinaus führen kann. Eine weitere wichtige Ergän-
zung wäre aber die, dass das Binärbaumkonzept auch
für die Menge aller positiven rationalen Zahlen funktioniert,
wenn man nur etwas anders anfängt. Dabei steht am
Anfang des Baumes der Bruch 1/1, mit den beiden "Kindern"
1/2 und 2/1. Die beiden möglichen "Eltern" von 1/1 sind
dann die Brüche 0/1 und 1/0. Dies war das Konzept von
Moritz Stern und Achille Brocot, die diese Idee vor etwa
150 Jahren hatten. Die linke Hälfte des Stern-Brocot-
Baums ist genau "mein" Baum, der nur die rationalen
Zahlen in (0,1) enthält.
Gruß Al
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> > 00 + 011 = 111
>
> Wieso ?
>
> 00 steht für [mm]\bruch{1}{4}[/mm] und 011 steht für [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
>
> 111 steht für [mm]\bruch{5}{8}[/mm]
>
> Somit ist 00 + 011 = 111 wegen
> [mm]\bruch{1}{4}+\bruch{3}{8}=\bruch{5}{8}[/mm]
Hallo rabilein,
du hast die Zahlen in deinem Baum anders angeordnet
als ich (und Stern und Brocot vor 150 Jahren). Da sind
die Zahlen auf der gleichen Höhe (in der gleichen Gene-
ration) von links nach rechts nach ihrer Größe angeord-
net. Dies ist in deinem Baum nicht der Fall, weshalb du
auch auf eine andere Codierung gekommen bist. Damit
soll nicht gesagt sein, dass deine Art der Codierung
"falsch" sei. Möglicherweise hat sie sogar ihre Vorteile.
Ich komme bei der Übersetzung der Additionsaufgabe
"00+011=?" auf die Bruchrechnung [mm] \bruch{1}{4}+\bruch{3}{7}=\bruch{19}{28}.
[/mm]
Da ich den Baum gar noch nicht so weit gezeichnet habe,
kann ich das codierte Ergebnis auch nicht ablesen. Und
damit sind wir bei einem weiteren wichtigen Punkt. Mit
meiner Frage, wie sich die Rechenoperationen (Addition,
Multiplikation) in einer solchen Codierung abbilden, geht
es mir nicht darum, die codierten Zahlen in Brüche umzu-
wandeln, diese zu addieren und dann das Ergebnis zurück
zu übersetzen. Die Frage ist, ob man die codierte Summe
irgendwie "direkt" aus den codierten Summanden er-
rechnen könnte. Um möglicherweise zu einem solchen
Algorithmus zu kommen, müsste man aber wohl doch
zuerst das Prinzip verstehen, wie man zu einem vorgege-
benen Bruch, z.B. [mm] \bruch{137}{451}, [/mm] den zugehörigen
Code effizient berechnen kann.
> > Die beiden möglichen "Eltern" von 1/1 sind
> > dann die Brüche 0/1 und 1/0.
>
> 1/0 ??? Seit wann darf man denn durch NULL dividieren ?
Ob man das "dürfen" soll oder nicht, ist eigentlich hier
auch nicht das Thema. Als rein formaler Ausdruck kann
"1/0" durchaus Gegenstand mathematischer Überlegun-
gen sein. Um ehrlich zu bleiben, muss ich aber gestehen,
dass mich genau dieser Ausdruck zuerst etwas abge-
schreckt hat, den ganzen Stern-Brocot-Baum nachzu-
erfinden, sondern eben nur den halben ... Dies ist aller-
dings kein grosser Verlust - in der anderen Hälfte (rechts
von Eins) stünden einfach noch die reziproken Werte der
schon vorhandenen Zahlen in [mm] \IQ\cap{(0,1)}. [/mm] Alle wesentlichen
Eigenschaften des Baumes bilden sich auch schon in einem
Teil von ihm ab. Und meine Vermutung ist, dass die tiefer
liegenden Strukturen dieses Baumes noch nicht wirklich
ausreichend erforscht sind ...
LG Al
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Tatsächlich spielt es offenbar eine wesentliche Rolle, in
welcher Weise man die Zahlen im Baum anordnet.
Mittlerweile denke ich, dass es möglicherweise unend-
lich viele im Prinzip gleichwertige binäre "Zahlenbäume"
geben könnte, welche jeweils als Knoten alle gekürzten
rationalen Zahlen, nur die positiven oder nur die einer
anderen Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] und dazu einen Knoten für
"0/1" enthalten.
Zumindest bei einer Art solcher Bäume ist es zudem
auch leicht, zu jeder "Knotenzahl", also einem gekürzten
Bruch, sowohl die beiden Nachfolger als auch den eindeu-
tig bestimmten Vorgänger zu berechnen.
In einem solchen "Calkin-Wilf-Baum" hat der Bruch z/n
die beiden Nachfolger z/(z+n) und (z+n)/n. An der Spitze
(bzw. "Wurzel") des Baums steht der Bruch 1/1. Der Baum
deckt alle positiven rationalen Zahlen ab, so wie der voll-
ständige Stern-Brocot-Baum, aber eben in ganz anderer
Anordnung. Für das obige Beispiel des Bruches [mm] \bruch{137}{451} [/mm]
konnte ich mit einem einfachen Programm den zugehörigen
Code 111101100111000 berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 So 12.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Du hast wohl Recht damit, dass es mehrere unterschiedliche Möglichkeiten gibt, den Baum anzuordnen und zu codieren.
Sollte in den letzten 150 Jahren niemand auf die Idee gekommen sein, ihn so anzuordnen und zu codieren wie von mir oben was ich für extrem unwahrscheinlich halte so wird man ihn fortan als den rabilein-Baum bezeichnen.
Einen Algorithmus zur direkte Addition der Codes (ohne Umwege über die Gesetze der Bruchrechnung) wird es dabei allerdings nicht geben.
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Hallo Rabilein1,
muss dich leider wegen der reellen Zahlen enttäuschen:
Die sind ja nicht abzählbar, und wenn man alle aus [0|1] in so einem Stammbaum darstellen könnte, könnte man sich ja von oben nach unten zu jeder Zahl durchzählen, und das Intervall [0|1] wäre abzählbar.
Schade, dass ich dir dein buntes Osterei so bepinseln muss...
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Hallo HJ,
ich denke, dass deine Aussage nicht meiner widerspricht,
in der ich sagte, dass es zu jeder irrationalen Zahl zwischen
0 und 1 einen Pfad (effektiv sind es sogar jeweils zwei be-
nachbarte Pfade) gibt, der auf die entsprechende irrationale
Zahl "hinweist", indem diese Zahl der Grenzwert der ratio-
nalen Zahlenfolge(n) ist, die durch den Pfad definiert wird
bzw. werden. Die Anzahl der Pfade in diesem unendlichen
Baum ist nicht abzählbar, sondern hat die Mächtigkeit von [mm] \IR.
[/mm]
So ganz in einer anderen Welt als der dieses Baumes muss
man sich die irrationalen Zahlen also doch nicht vorstellen.
LG Al-Chw.
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Wenn es nur darum geht, Pfade anzudeuten, also die irrationalen Zahlen gar nicht als Knoten einzubauen, ist doch die Nachkomma-Zifferndarstellung des Dezimalsystems ein bereits vorhandener und natürlicher Baum. Wem die Verzweigung in jeweils 10 Äste bei jeder Stufe nicht gefällt, mag auf die Nachkomma-Binärdarstellung zurückgreifen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:18 Di 14.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wenn es nur darum geht, Pfade anzudeuten, also die
> irrationalen Zahlen gar nicht als Knoten einzubauen, ist
> doch die Nachkomma-Zifferndarstellung des Dezimalsystems
> ein bereits vorhandener und natürlicher Baum. Wem die
> Verzweigung in jeweils 10 Äste bei jeder Stufe nicht
> gefällt, mag auf die Nachkomma-Binärdarstellung
> zurückgreifen.
Das schon, allerdings treten in diesen Baeumen nur relativ wenige rationale Zahlen als Knoten auf: naemlich nur die der Form [mm] $\frac{x}{10^n}$, [/mm] $x [mm] \in \IZ$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{y}{2^m}$, [/mm] $y [mm] \in \IZ$, [/mm] $m [mm] \in \IN$.
[/mm]
In dem Baum von Al sind dagegen alle (positiven) rationalen Zahlen aufgefuehrt (und jede genau einmal).
LG Felix
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