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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Relation [mm] \leq [/mm] auf [mm] \mathbb{Q} [/mm] folgende Eigenschaften hat.
1. [mm] \leq [/mm] ist eine Totalordnung auf [mm] \mathbb{Q} [/mm] |
Hallo.
Ich stecke bei dieser Aufgabe fest und benötige Hilfe.
Eine Totalordnung ist bekanntlich eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und total ist.
[mm] "\leq" [/mm] haben wir definiert als: [mm] p\leq q:\gdw [/mm] p-q nichtpositiv [mm] \gdw p-q\geq [/mm] 0
Sei [mm] p:=\bruch{m}{n} [/mm] , [mm] q:=\bruch{k}{l} [/mm] , [mm] r:=\bruch{i}{j}
[/mm]
(a)reflexiv: [mm] p\leq [/mm] p
[mm] p\leq [/mm] p
[mm] \gdw p-p\geq [/mm] 0
[mm] \gdw \bruch{m}{n}- \bruch{m}{n} \geq [/mm] 0
[mm] \gdw \bruch{mn-mn}{n^2} \geq [/mm] 0
[mm] \gdw \bruch{0}{n^2}\geq [/mm] 0
[mm] \gdw 0\geq [/mm] 0 ist wahr
(b)antisymmetrisch: [mm] p\leq [/mm] q [mm] \wedge q\leq [/mm] p [mm] \Rightarrow [/mm] p=q
[mm] p\leq [/mm] q [mm] \wedge q\leq [/mm] p
[mm] \gdw \bruch{m}{n} [/mm] - [mm] \bruch{k}{l}\geq [/mm] 0 [mm] \wedge \bruch{k}{l} [/mm] - [mm] \bruch{m}{n}\geq [/mm] 0
[mm] \gdw \bruch{ml-kn}{nl}\geq [/mm] 0 [mm] \wedge \bruch{kn-ml}{nl}\geq [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] ist wahr für [mm] nl\ne [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] ml=kn
[mm] \gdw \bruch{ml-ml}{nl}\geq [/mm] 0 [mm] \wedge \bruch{ml-ml}{nl}\geq [/mm] 0
Ab hier klemmt die Säge.
(c)transitiv: [mm] p\leq [/mm] q [mm] \wedge q\leq [/mm] r [mm] \Rightarrow p\leq [/mm] r
[mm] p\leq [/mm] q [mm] \wedge q\leq [/mm] r
[mm] \gdw \bruch{m}{n} [/mm] - [mm] \bruch{k}{l}\geq [/mm] 0 [mm] \wedge \bruch{k}{l} [/mm] - [mm] \bruch{i}{j}\geq [/mm] 0
[mm] \gdw \bruch{ml-kn}{nl}\geq [/mm] 0 [mm] \wedge \bruch{kj-il}{lj}\geq [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] ist wahr für [mm] n,l,j\ne [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] m,k,i=0
[mm] \gdw \bruch{0l-0n}{nl}\geq [/mm] 0 [mm] \wedge \bruch{0j-0l}{lj}\geq [/mm] 0
[mm] \gdw p\leq [/mm] q [mm] \wedge q\leq [/mm] r
[mm] \Rightarrow p\leq [/mm] r
[mm] \Rightarrow [/mm] ist auch wahr für [mm] n,l,j\ne [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] m,k,i bel.
Hier klemmt auch die Säge.
Leider habe ich (d)total noch nicht angefangen.
Trotzdem würde ich mich über ein Kommentar freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mo 23.11.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du vergisst bei p=m/n musst du immer n, m [mm] \in \IN [/mm] , [mm] n\ne [/mm] 0 voraussetzen. Gruß ledum
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> Hallo
> du vergisst bei p=m/n musst du immer n, m [mm]\in \IN[/mm] , [mm]n\ne[/mm] 0
> voraussetzen. Gruß ledum
>
Widerspricht sich diese Annahme nicht mit dem Zahlenbereich?
Immerhin haben wir [mm] \mathbb{Q}:=(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus{0})).
[/mm]
Wäre das kartesische Produkt aus natürlichen Zahlen [mm] \mathbb{N}, [/mm] gäbe es doch keine negativ rationale Zahlen oder?
Warum sollte ich dann voraussetzen, dass Zähler und Nenner Elemente von [mm] \mathbb{N} [/mm] sein sollen?
Bitte um eine Erklärung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:20 Di 24.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo
> > du vergisst bei p=m/n musst du immer n, m [mm]\in \IN[/mm] ,
> [mm]n\ne[/mm] 0
> > voraussetzen. Gruß ledum
> >
>
> Widerspricht sich diese Annahme nicht mit dem
> Zahlenbereich?
> Immerhin haben wir
> [mm]\mathbb{Q}:=(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus{0})).[/mm]
> Wäre das kartesische Produkt aus natürlichen Zahlen
> [mm]\mathbb{N},[/mm] gäbe es doch keine negativ rationale Zahlen
> oder?
>
> Warum sollte ich dann voraussetzen, dass Zähler und Nenner
> Elemente von [mm]\mathbb{N}[/mm] sein sollen?
>
> Bitte um eine Erklärung.
Ich vermute, dass sich leduart vertan hat. Ist $ [mm] p=\bruch{m}{n} \in \IQ [/mm] $, so sind $m,n [mm] \in \IZ$ [/mm] und $n [mm] \ne [/mm] 0$.
FRED
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