Rationale bzw. ganze Zahlen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Jorgi |
Guten Tag,
ich habe mal aus Langeweile in meinem alten Mathebuch aus der 9. Klassen geblättert und bin auf eine interessante Aufgabe gestossen.
Sie lautet wie folgt:
Sind $a$ und $b$ rationale Zahlen, so dass $a [mm] \cdot [/mm] b$ und $a + b$ ganze Zahlen sind, so sind bereits $a$ und $b$ ganz
Wenn man schweres Geschütz auffahren will, kann man dies mit dem Lemma von Gauß zeigen. Aber mich interessiert, wie so etwas ein Kind in der neunten Klassen lösen soll, was keine Hochschulmathematik zur Verfügung hat.
Es ist eine kleine Anleitung gegeben:
Seien $a = [mm] \frac{p}{q}, [/mm] b [mm] \in \mathbb{Q}$ [/mm] mit $a [mm] \cdot [/mm] b=n [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] und $a+b=m [mm] \in \mathbb{Z}$
[/mm]
1: zeige, dass $q$ ein Teiler von [mm] $p^2$ [/mm] ist,
2: zeigen, dass dann $q$ ein Teiler von $p$ ist
Gut, wenn man gezeigt hat, dass $q$ ein Teiler von $p$ ist, dann ist $a$ ganz, also auch $b = m - a$.
Aber so weit muss man erst kommen...
Zu 1: Die erste Bedingung liefert [mm] $a\cdot [/mm] b = n [mm] \gdw [/mm] b = n [mm] \cdot \frac{q}{p}$
[/mm]
In die zweite Bedingung eingesetzt ergibt
$a+b=m [mm] \gdw \frac{p}{q} [/mm] + [mm] n\frac{q}{p} [/mm] = m [mm] \gdw p^2 [/mm] + [mm] nq^2 [/mm] = mqp [mm] \gdw p^2 [/mm] =q(mp - nq) $
also $q$ teilt [mm] $p^2$ [/mm]
Nun komme ich nicht drauf, wie man daraus schliessen kann das $q$ ein Teielr von $p$ ist
Im Allgemeinen gilt das natürlich nicht, also $ q | [mm] p^2 \Rightarrow [/mm] q | p$ ist im Allgemeinen falsch.
(Bsp. $ 12 | [mm] 36=6^2 [/mm] $ jedoch teilt 12 die 6 nicht)
Warum gilt dies hier in diesem speziellen Fall
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mo 01.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Im Allgemeinen gilt das natürlich nicht, also [mm]q | p^2 \Rightarrow q | p[/mm]
> ist im Allgemeinen falsch.
> (Bsp. [mm]12 | 36=6^2[/mm] jedoch teilt 12 die 6 nicht)
>
> Warum gilt dies hier in diesem speziellen Fall
Weil du o.B.d.A $ggT(p,q)=1$ annehmen kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Jorgi |
alles klar, thx
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