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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:54 So 26.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Definition:
Ein Schnitt heißt rational, falls er ein Infimum besitzt.
Zeige:
Ein Schnitt S ist genau dann rational, wenn es ein q [mm] \in \IQ [/mm] gibt mit
[mm] S=\{q' \in \IQ| q' >q\} [/mm] |
Hallo,
Ich habe bei zwei Punkten Probleme die ich mit Fragezeichen makiert habe. Sonst freue ich mich, wenn irgendwer den Beweis korrigiert.
<=
Sei [mm] S=\{q' \in \IQ| q' >q\},
[/mm]
zuerst muss ich mal zeigen, dass es sich bei S um einen Schnitt handelt,d.h.
1) S [mm] \not= \{\emptyset\} [/mm]
Das folgt aus der Unbeschränktheit der natürlichen Zahlen nach oben in [mm] \IQ.
[/mm]
2) S ist nach unten beschränkt durch q
3) [mm] \forall [/mm] m [mm] \in \IQ\setminus [/mm] S: [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S: s [mm] \ge [/mm] m
Sei m [mm] \in \IQ\setminus [/mm] S , d.h. m [mm] \le [/mm] q
Da für alle s [mm] \in [/mm] S gilt s > q folgt m [mm] \le [/mm] q <s => m < s
> ?? Müsste ich da nicht auf kleinergleich kommen? Zeige ich weniger wenn ich nur kleiner da stehen habe?
4) [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S: [mm] \exists [/mm] s' [mm] \in [/mm] S: s>s'
Sei s [mm] \in [/mm] S beliebig aber fix, d.h. s>q.
???
Ich hab verschucht mit der Proposition: "Zu jeder positiven rationalen Zahl [mm] \epsilon [/mm] gibt es m,n [mm] \in [/mm] Q mit m [mm] \in [/mm] S, n [mm] \in \IQ\setminus [/mm] S mit [mm] m-n\le \epsilon", [/mm] etwas zu machen. Bin aber gescheitert?
Dann ist noch zu zeigen, dass q das Infimum von S ist.
Nun ist q eine untere Schranke von S
Sei s' [mm] \in [/mm] Q mit s'>s, zuzeigen ist dass es sich bei s' um keine untere Schranke von S handelt.
Da gilt [mm] s'>\frac{s'+s}{2} [/mm] >s, ist [mm] \frac{s'+s}{2} \in [/mm] S, also kann s' keine untere Schranke sein.
<=
Sei S ein rationaler Schnitt.
Definiere q:=inf S
Definiere [mm] S_{q}:=\{q' \in \IQ|q'>q\}
[/mm]
ZZ.: [mm] S_{q}=S
[/mm]
[mm] \subseteq [/mm]
Sei t [mm] \in S_{q}, [/mm] d.h. t>q.Falls t [mm] \not\in [/mm] S, wissen wir laut Definition des Schnittes [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S: s [mm] \ge [/mm] t. Daher ist t eine untere Schranke von S, da t>q, widerspricht das der Infimumeigenschaft von q => t [mm] \in [/mm] S.
[mm] \supseteq
[/mm]
Sei [mm] t\in [/mm] S, da q eine untere Schranke von S ist folgt q < t daraus folgt t [mm] \in S_{q}
[/mm]
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 28.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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