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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mo 11.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | i) Es soll gezeigt werden, dass für $p \in \IQ$ mit $q\ne 0 $ die folgenden reellen Zahlen nicht durch einen Bruch darstellbar sind:
a) $p \cdot \sqrt{2}$
b) $\frac{1}{s\cdot \sqrt{2}}$ (für $s \in \IN$)
c) für eine prime Zahl $r$ : \sqrt{r}
d) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$
e) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
f) $\sqrt{6}$ |
Hallo,
a) $p\sqrt{2} \in \IR \backslash \IQ$ wenn $\sqrt{2}\in \IR \backslash \IQ$.
$ m,n \in \IQ \wedge ggT(m,n)=1 \Rightarrow \frac{m}{n}=\sqrt{2} \Rightarrow \frac{m^{2}}{n^{2}}=2 \Rightarrow 2n^{2}=m^{2} \Rightarrow 2|m^{2} \Rightarrow m=2a \Rightarrow m^{2}=4a^{2} \Rightarrow 2n^(2}=4a^{2} \Rightarrow n^{2}=2k^{2} \Rightarrow 2|n^{2} \wedge 2|m^{2} \gdw \sqrt{2} \in \IR \backslash \IQ$
b) $ \frac{1}{s\cdot \sqrt{2}}$ , hier reicht es auch wieder wenn ich zeige dass $\frac{1}{\sqrt{2} \in \IR \backslash \IQ$, oder? Also wieder genau gleich wie bei a):
$ m,n \in \IQ \wedge ggT(m,n)=1 \Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \frac{m^{2}}{n^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow 2m^{2}=n^{2} \Rightarrow 2|n^{2} \Rightarrow n=2a \Rightarrow n^{2}=4a^{2} \Rightarrow 2m^(2}=4a^{2} \Rightarrow m^{2}=2a^{2} \Rightarrow 2|m^{2} \wedge 2|n^{2} \gdw \sqrt{2} \in \IR \backslash \IQ$
c) Ich denke diese Annahme gilt für alle $\sqrt{n}$ mit $n\in \IN$ welche nicht selber ein Quadrat einer rationalen Zahl sind.
$\forall t, t \in \IN(t|r \Rightarrow t=r \wedge t=1) \wedge m,n \in \IQ \wedge ggT(m,n)=1 \Rightarrow \frac{m^{2}}{n^{2}}=r \Rightarrow rn^{2}=m^{2} \Rightarrow r|m^{2} \Rightarrow m=rk = m^{2}= r^{2}k^{2}\Rightarrow n^{2}=rk^{2} \Rightarrow r|n^{2} \wedge r|m^{2} \gdw \sqrt{r} \in \IR \backslash \IQ$
d) $\sqrt{2}-\sqrt{3}=r$ mit $r \in \IQ$ $\sqrt{2}=r+\sqrt{3}$ und schon fertig, weil Wurzel 2 nicht rational ist und ich das oben gezeigt habe?
e) analog zu d)
f) $\sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3}, ggT(2,3)=1 \gdw \sqrt{6} \notin \IQ$
Ich weiss nicht obs stimmt und wäre sehr froh wenn mir jemand sagen könnte wie ichs formal besser/richtig schreiben kann.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jeden Hinweis dankbar.
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Hallo!
> i) Es soll gezeigt werden, dass für [mm]p \in \IQ[/mm] mit [mm]q\ne 0[/mm]
> die folgenden reellen Zahlen nicht durch einen Bruch
> darstellbar sind:
>
> a) [mm]p \cdot \sqrt{2}[/mm]
> b) [mm]\frac{1}{s\cdot \sqrt{2}}[/mm] (für [mm]s \in \IN[/mm])
>
> c) für eine prime Zahl [mm]r[/mm] : [mm]\sqrt{r}[/mm]
> d) [mm]\sqrt{2}-\sqrt{3}[/mm]
> e) [mm]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/mm]
> f) [mm]\sqrt{6}[/mm]
> Hallo,
>
>
> a) [mm]p\sqrt{2} \in \IR \backslash \IQ[/mm] wenn [mm]\sqrt{2}\in \IR \backslash \IQ[/mm].
DAS ist der schwierigste Teil des Beweises (wenn du den [mm] \sqrt{2} [/mm] - Irrationalitätsbeweis schon kennst)!
Habt ihr dazu schon einen Satz / ein Lemma formuliert oder wie würdest du beweisen:
[mm] $\sqrt{2}\in\IR\textbackslash\IQ \Rightarrow p*\sqrt{2}\in\IR\textbackslash\IQ$ [/mm] ?
Ansonsten könnte man auch einfach versuchen, den [mm] \sqrt{2} [/mm] - Irrationalitätsbeweis einfach mit dem p durchzuspielen, z.B. so:
Angenommen [mm] p*\sqrt{2} [/mm] rational, dann gäbe es [mm] m\in\IZ, n\in\IN [/mm] so dass: [mm] $p*\sqrt{2} [/mm] = m/n$.
Da [mm] p\in\IQ, [/mm] gibt es [mm] p_1\in\IZ, p_2\in\IZ [/mm] so dass $p = [mm] \frac{p_1}{p_2}$.
[/mm]
Also hätten wir:
[mm] $p*\sqrt{2} [/mm] = [mm] \frac{m}{n}$
[/mm]
bzw.
[mm] $\frac{p_1}{p_2}*\sqrt{2} [/mm] = [mm] \frac{m}{n}$
[/mm]
Wegen [mm] $p_{1}\not= [/mm] 0$ (Steht entweder in der Aufgabenstellung oder du machst eine triviale Fallunterscheidung) würde folgen:
[mm] $\sqrt{2} [/mm] = [mm] \frac{m*p_2}{n*p_1}$
[/mm]
Das heißt: Wäre [mm] p*\sqrt{2}\in\IQ, [/mm] so wäre auch [mm] \sqrt{2}\in\IQ. [/mm] Da das aber nicht stimmt, bist du fertig. Verstanden?
> [mm]m,n \in \IQ \wedge ggT(m,n)=1 \Rightarrow \frac{m}{n}=\sqrt{2} \Rightarrow \frac{m^{2}}{n^{2}}=2 \Rightarrow 2n^{2}=m^{2} \Rightarrow 2|m^{2} \Rightarrow m=2a \Rightarrow m^{2}=4a^{2} \Rightarrow 2n^(2}=4a^{2} \Rightarrow n^{2}=2k^{2} \Rightarrow 2|n^{2} \wedge 2|m^{2} \gdw \sqrt{2} \in \IR \backslash \IQ[/mm]
>
> b) [mm]\frac{1}{s\cdot \sqrt{2}}[/mm] , hier reicht es auch wieder
> wenn ich zeige dass [mm]\frac{1}{\sqrt{2} \in \IR \backslash \IQ[/mm],
> oder? Also wieder genau gleich wie bei a):
> [mm]m,n \in \IQ \wedge ggT(m,n)=1 \Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \frac{m^{2}}{n^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow 2m^{2}=n^{2} \Rightarrow 2|n^{2} \Rightarrow n=2a \Rightarrow n^{2}=4a^{2} \Rightarrow 2m^(2}=4a^{2} \Rightarrow m^{2}=2a^{2} \Rightarrow 2|m^{2} \wedge 2|n^{2} \gdw \sqrt{2} \in \IR \backslash \IQ[/mm]
Auch hier: Der "schwierige" Teil liegt im Zurückführen auf die Irrationalität von [mm] \sqrt{2}. [/mm] Mach' es so ähnlich wie in a).
> c) Ich denke diese Annahme gilt für alle [mm]\sqrt{n}[/mm] mit [mm]n\in \IN[/mm]
> welche nicht selber ein Quadrat einer rationalen Zahl
> sind.
Das ist zwar richtig, aber schwerer zu beweisen.
Ich möchte dir ein Gegenbeispiel für deinen Beweis geben:
Die Irrationalität von [mm] \sqrt{8}.
[/mm]
Mit deinem Beweis:
[mm] $\frac{m^{2}}{n^{2}} [/mm] = 8$
[mm] $\Rightarrow m^2 [/mm] = [mm] 8*n^2$
[/mm]
Daraus schlussfolgerst du:
[mm] 8|m^2 [/mm] und dann 8|m
Das muss aber nicht der Fall sein: Es könnte ja m = 16 sein.
Wenn du nur beweisen sollst, dass die Wurzeln von Primzahlen irrational sind, hast du dieses Problem nicht. Formuliere deinen Beweis also ein klein wenig um und nimm nur Wurzeln von Primzahlen.
[mm]\forall t, t \in \IN(t|r \Rightarrow t=r \wedge t=1) \wedge m,n \in \IQ \wedge ggT(m,n)=1 \Rightarrow \frac{m^{2}}{n^{2}}=r \Rightarrow rn^{2}=m^{2} \Rightarrow r|m^{2} \Rightarrow m=rk = m^{2}= r^{2}k^{2}\Rightarrow n^{2}=rk^{2} \Rightarrow r|n^{2} \wedge r|m^{2} \gdw \sqrt{r} \in \IR \backslash \IQ[/mm]
>
> d) [mm]\sqrt{2}-\sqrt{3}=r[/mm] mit [mm]r \in \IQ[/mm] [mm]\sqrt{2}=r+\sqrt{3}[/mm]
> und schon fertig, weil Wurzel 2 nicht rational ist und ich
> das oben gezeigt habe?
Wieso bist du jetzt schon fertig?
Wenn [mm] \sqrt{2} [/mm] irrational ist, hättest du lediglich gezeigt, dass [mm] r+\sqrt{3} [/mm] auch irrational ist (da es dieselbe Zahl ist). Aber selbst wenn du weißt, dass auch [mm] \sqrt{3} [/mm] irrational ist, folgt daraus nicht, dass r irrational ist.
Beispiel:
Beide Zahlen [mm] \sqrt{2}+1 [/mm] und [mm] 1-\sqrt{2} [/mm] sind irrational, aber deren Summe ist rational...
Du musst dir also etwas neues einfallen lassen.
Folgendes ginge, wenn du schon wüsstest, dass [mm] \sqrt{6} [/mm] irrational ist:
[mm] $\sqrt{2}-\sqrt{3} [/mm] = [mm] \frac{p}{q}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 2 - [mm] 2*\sqrt{6} [/mm] + 3 = [mm] \frac{p^2}{q^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 5 - [mm] \frac{p^2}{q^2} [/mm] = [mm] 2*\sqrt{6}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{2}*\left(5 - \frac{p^2}{q^2}\right) [/mm] = [mm] \sqrt{6}$
[/mm]
Woraus folgen würde, dass auch [mm] \sqrt{6} [/mm] rational ist.
Hast du jetzt ein wenig verstanden, wie man solche Beweise macht? Man muss ein bisschen umformen und alles zurückführen auf die Irrationalität der Wurzeln.
> e) analog zu d)
Nein.
Du kannst aber mit [mm] $\sqrt{2}-\sqrt{3} [/mm] = [mm] \frac{-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ [/mm] sofort aus d) deine Aussage für e) folgern.
> f) [mm]\sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3}, ggT(2,3)=1 \gdw \sqrt{6} \notin \IQ[/mm]
Hierzu überlege nochmal selbst.
Ich verstehe gar nicht, warum du damit etwas gezeigt hast. Hattet ihr einen Satz in der Vorlesung?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mo 11.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
nein, wir hatten dazu keinen Satz. Aber ich denke es stimmt für alle rationalen Zahlen [mm] $\ne$ [/mm] 0. Zeigen würde ich das indirekt, also $a,r [mm] \in \IQ \wedge [/mm] r [mm] \ne [/mm] 0, i [mm] \in \IR \backslash \IQ$, $r\cdot [/mm] i = a$
[mm] $\Rightarrow [/mm] i = [mm] \frac{a}{r}$ [/mm]
Das stimmt weil aus der Division zweier rationaler Zahlen entsteht nie eine irrationale Zahl : [mm] $\frac{p}{a} [/mm] : [mm] \frac{q}{b}=\frac{pb}{aq}$ [/mm] und weil p,q,a,b ganze Zahlen sind sind es die Produkte auch.. stimmt das so und reicht das um als Beweis durchzukommen??
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.auf welchen Satz bezieht sich das jetz?
2. du hast nicht gesagt, ob du die irrationalität von [mm] \wurzel{2} [/mm] und oder /wurzel{3} benutzen darfst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mo 11.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich wollte halt bei den ersten zwei Aufgaben nur damit rechnen, dass $ [mm] \sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}$ [/mm] irrational sind. Aber es musste auch bewiesen werden, dass eine rationale mal eine irrationale Zahl eine irrationale Zahl gibt.
Habe ich das nicht getan in meiner obigen Antwort??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst beweisen, dass [mm] q*\wurzel{2} [/mm] nicht rational ist? und du weisst dass [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht rational ist?
Dann musst du klar nen Widerspruchsbeweis führen.
Angenommen [mm] q*\wurzel{2}=p\in \IQ
[/mm]
dann folgt [mm] \wurzel{2}=p/q [/mm] nach Vors ist p,q [mm] \in \IQ, [/mm] also auch p/q
im Widerspruch zu [mm] \wurzel{2} [/mm] irrational.
Formulier deine Beweise durch, dann kann man sie lesen, das müssen die Tutoren, die korrigieren ja auch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mo 11.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1. gezeigt werden soll, dass $p\sqrt{2}$ mit $p \in \IQ und \ne 0$ nicht rational ist.
Zuerst der Beweis, dass jede rationale Zahl multipliziert mit einer irrationalen eine irrationale Zahl ergibt:
$ a,r \in \IQ \wedge r \ne 0, i \in \IR \backslash \IQ $
$ \Rightarrow i = \frac{a}{r} $
dann eine rationale Zahl dividiert durch eine rationale Zahl ist wieder eine rationale Zahl:
$ \frac{p}{a} : \frac{q}{b}=\frac{pb}{aq} $
$p,a,q,b$ sind ja alles ganze Zahlen, also sind es auch $pb$ und $aq$.
Nachdem ich das gezeigt habe, ist ja nun gezeigt dass dass das p keine Rolle spielt und noch bewiesen werden muss, dass $\sqrt{2}$ irrational ist.
das habe ich so:
$ m,n \in \IQ \wedge ggT(m,n)=1 \Rightarrow \frac{m}{n}=\sqrt{2} \Rightarrow \frac{m^{2}}{n^{2}}=2 \Rightarrow 2n^{2}=m^{2} \Rightarrow 2|m^{2} \Rightarrow m=2a \Rightarrow m^{2}=4a^{2} \Rightarrow 2n^(2}=4a^{2} \Rightarrow n^{2}=2k^{2} \Rightarrow 2|n^{2} \wedge 2|m^{2} \gdw \sqrt{2} \in \IR \backslash \IQ $
und damit wäre der Beweis vollendet oder?
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Hallo,
> 1. gezeigt werden soll, dass [mm]p\sqrt{2}[/mm] mit [mm]p \in \IQ und \ne 0[/mm]
> nicht rational ist.
>
> Zuerst der Beweis, dass jede rationale Zahl multipliziert
> mit einer irrationalen eine irrationale Zahl ergibt:
>
> [mm]a,r \in \IQ \wedge r \ne 0, i \in \IR \backslash \IQ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow i = \frac{a}{r}[/mm]
>
> dann eine rationale Zahl dividiert durch eine rationale
> Zahl ist wieder eine rationale Zahl:
>
> [mm]\frac{p}{a} : \frac{q}{b}=\frac{pb}{aq}[/mm]
>
> [mm]p,a,q,b[/mm] sind ja alles ganze Zahlen, also sind es auch [mm]pb[/mm]
> und [mm]aq[/mm].
> Nachdem ich das gezeigt habe, ist ja nun gezeigt dass dass
> das p keine Rolle spielt und noch bewiesen werden muss,
> dass [mm]\sqrt{2}[/mm] irrational ist.
>
> das habe ich so:
>
> [mm]m,n \in \IQ \wedge ggT(m,n)=1 \Rightarrow \frac{m}{n}=\sqrt{2} \Rightarrow \frac{m^{2}}{n^{2}}=2 \Rightarrow 2n^{2}=m^{2} \Rightarrow 2|m^{2} \Rightarrow m=2a \Rightarrow m^{2}=4a^{2}\red{ \Rightarrow} 2n^(2}=4a^{2} \Rightarrow n^{2}=2\blue{k}^{2} \Rightarrow 2|n^{2} \wedge 2|m^{2} \gdw \sqrt{2} \in \IR \backslash \IQ[/mm]
>
> und damit wäre der Beweis vollendet oder?
Ok, so kannst du das machen.
Wenn du es aufschreibst, solltest du aber noch die Struktur des Widerspruchsbeweises (dein Beweis ist ein Widerspruchsbeweis) stärker herausbilden. Will heißen: Wo ist die eigentliche zu beweisende Aussage, was nimmst du jetzt an, wo ist der Widerspruch.
Bei deinem Beweis mit der Wurzel finde ich das Aufschreiben in einer Zeile nicht besonders übersichtlich; es ist sogar manchmal ein bisschen fehl am Platz, weil zum Beispiel beim roten Folgepfeil nicht nur aus der vorhergehenden Aussage folgerst.
Beim blauen wäre "a" statt k besser.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Di 12.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Wie kann ich denn die Struktur des indirekten Beweises noch stärker hinausstreichen?
a) Behauptung: Das Produkt einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist immer irrational.
Beweis:
[mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in \IQ \wedge \forall [/mm] c [mm] \in \IR \backslash \IQ$
[/mm]
[mm] $a\cdot [/mm] c = b [mm] \Rightarrow c=\frac{b}{a}$
[/mm]
daraus folgt die Behauptung: Die Division zweier rationaler Zahlen ist immer rational.
Beweis: [mm] $\forall [/mm] a,b,c,d [mm] \in \IZ$
[/mm]
[mm] $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}= \frac{ca}{bd}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] da a,b,c,d ganze Zahlen sind, sind es auch die Produkte ca und bd.
Da das Produkt aus einer irrationalen und rationalen eine irrationale Zahl ergibt, muss nur noch bewiesen werden, dass [mm] \sqrt{2} [/mm] irrational ist.
Behauptung:
[mm] $\sqrt{2}= \frac{a}{b}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}=2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 2a^{2}=b^{2} \Rightarrow [/mm] 2|b$
$b=2k [mm] \Rightarrow b^{2}=4k^{2}$
[/mm]
[mm] $2a^{2}=4k^{2} \Rightarrow a^{2}=2k^{2} \Rightarrow [/mm] 2|a$
$2|a [mm] \wedge [/mm] 2|b [mm] \gdw \sqrt{2} \notin \IQ$ [/mm]
Ist es so wie du gemeint hast?
Danke .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mi 13.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Immer noch interessiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mi 13.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
z. Bsp :
Vors $ a [mm] \in \IQ \wedge [/mm] c [mm] \in \IR \backslash \IQ [/mm] $
Beh : a*c=b mit [mm] b\in\IQ
[/mm]
aus ac=b folgt c=a/b da [mm] a,b\in \IQ [/mm] folgt [mm] a/b\in \IQ [/mm] damit [mm] c\in\IQ [/mm] im Widerspruch zur Vors. daß c [mm] \in \IR \backslash \IQ [/mm]
So ähnlich sehen ordentlich geführte Wdspbew. aus.
Du musst also klar sagen, was die Annahme bzw Annahmen sind, und dann klar zu welcher Annahme du nen Wdsp. aufzeigst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mi 13.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke. Wie sagt man eigentlich formal "angenommen dass" ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mi 13.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum willst du das auch noch formalisieren
1. wie du gesagt hast.
2. Sei x....
3. Vorrausetzung: x...
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Do 14.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Weil mein Prof gesagt hat entweder alles formal oder nichts. Aber wenn ich Aufsätze hinschreibe dann ist er auch nicht zufrieden. Also bleibt nur formal.
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