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Raum Hom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Fr 08.05.2009
Autor: SusanneK

Aufgabe
Sei [mm] L \in Hom(\IR^n,\IR^m) [/mm] mit n,m [mm] \in \IN [/mm] und sei
[mm] M:=\{ \parallel L(x) \parallel_\infty |[/mm] [mm] x \in \IR^n [/mm] und [mm] \parallel x \parallel_\infty = 1 \} [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] \parallel L \parallel_{Hom} = \parallel A \parallel = sup M [/mm] gilt.
( A ist m x n  Matrix, [mm] \parallel A \parallel [/mm] = Zeilensummennorm)

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hallo,
erstmal habe ich Probleme mit der Menge M und deshalb komme ich auch sonst nicht weiter.
Meine bisherige Idee:
x ist ein Vektor mit n Zeilen und 1 ist der grösste Eintrag in x.
[mm] \parallel L(x) \parallel_\infty | = Ax [/mm] , es wird also dieser Vektor x von rechts an alle Abbildungsmatrizen A [mm] \in \IR_{mn} [/mm] multipliziert, was einen m-zeiligen Vektor erzeugt. Und der größte Wert dieses Vektors ist dann ein Element von M ?

Stimmt das so ?

Danke, Susanne.

        
Bezug
Raum Hom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Fr 08.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]L \in Hom(\IR^n,\IR^m)[/mm] mit n,m [mm]\in \IN[/mm] und sei
> [mm]M:=\{ \parallel L(x) \parallel_\infty |[/mm] [mm]x \in \IR^n[/mm] und
> [mm]\parallel x \parallel_\infty = 1 \}[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]\parallel L \parallel_{Hom} = \parallel A \parallel = sup M[/mm]
> gilt.
>  ( A ist m x n  Matrix, [mm]\parallel A \parallel[/mm] =
> Zeilensummennorm)

Hallo,

etwas rätselbehaftet ist mir im Moment [mm] \paralleL \parallel_{Hom} [/mm] .

Oder steht da [mm] \paralle [/mm] L [mm] \parallel_{Hom} \red{:}=\parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] ?
Und A soll sicher die darstellende Matrix von L sein.  Genau. So muß es sein.


>  erstmal habe ich Probleme mit der Menge M und deshalb
> komme ich auch sonst nicht weiter.

Wir haben also einen fest vorgegebenen Homomorphismus L mit zugehöriger Darstellungsmatrix A und betrachten die Menge M.

>  Meine bisherige Idee:
>  x ist ein Vektor mit n Zeilen und 1 ist der grösste
> Eintrag in x.

1 oder -1 sind die betragsgrößten Einträge.

Nun betrachten wir für alle diese Vektoren jeweils den Vektor L(x). Der Betrag des jeweils betragsgrößten Eintrages, also [mm] \parallel [/mm] L(x) [mm] \parallel_\infty, [/mm] ist in M.

>  [mm]\parallel L(x) \parallel_\infty | = Ax[/mm] ,

L(x)=Ax, also ist [mm] \parallel [/mm] L(x) [mm] \parallel_\infty=\parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_\infty. [/mm]

>  es wird also
> dieser Vektor x von rechts an alle Abbildungsmatrizen A [mm]\in \IR_{mn}[/mm]

Nein. An die zu L gehörige Abbildungsmatrix! L und A sind fest.

> multipliziert, was einen m-zeiligen Vektor erzeugt.

Ja.

> Und der
> größte Wert dieses Vektors ist dann ein Element von M ?

Der Betrag des betragsgrößten Eintrages des Vektors.

Gruß v. Angela

P.S.: Falls Du ein Stichwort zum Nachlesen möchtest: "von einer Vektornorm induzierte Matrixnorm" paßt hier gut.




Bezug
                
Bezug
Raum Hom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 Fr 08.05.2009
Autor: SusanneK

Liebe Angela,
> Oder steht da [mm]\paralle[/mm] L [mm]\parallel_{Hom} \red{:}=\parallel[/mm]
> A [mm]\parallel[/mm] ?
> Und A soll sicher die darstellende Matrix von L sein.  
> Genau. So muß es sein.

Da hast du genau recht !!

Vielen Dank für Deine Hilfe !
Es war mir nicht klar, dass es um einen speziellen/festen Homomorphismus geht, also auch um ein festes A.

Danke auch für den Suchtipp !

LG, Susanne.

Bezug
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