Raum linearer Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 02.01.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Es sei en V,W und X Vektorräume über K und [mm] $f:V\to [/mm] W$ eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
I) Die Abbildung
[mm] $\Phi: L(W,X)\to [/mm] L(V,X)$
definiert durch
[mm] $g\mapsto g\circ [/mm] f$
für [mm] g\in [/mm] L(W,X) ist eine lineare Abbildung.
II) a) Ist f ein Epimorphismus, dann ist [mm] $\Phi$ [/mm] ein Monomorphismus
b) Ist f ein Monomorphismus, dann ist [mm] $\Phi$ [/mm] ein Epimorphimus |
Erstmal zur Schreibweise:
[mm] $L(V,W)=Hom_K(V,W)$ [/mm] also die Menge aller linearen Abbildungen [mm] $f:V\to [/mm] W$
I)
Ich muss ja folgendes zeigen:
f(x+y)=f(x)+f(y) und f(x)a=(fa)(x)
Seien f,g lineare Abbildungen
Zu zeigen: [mm] $g\mapsto g\circ [/mm] f$ ist eine lineare Abbildung.
Sei [mm] $v_1, v_2\in [/mm] V$, dann ist
[mm] g(f(v_1+v_2)=g(f(v_1)+f(v_2) [/mm] weil f eine lineare Abbildung ist.
[mm] g(f(v_1)+g(f(v_2)) [/mm] weil g eine lineare Abbildung ist.
[mm] =(g\circ f)(v_1)+(g\circ f)(v_2)
[/mm]
Nun sei [mm] $a\in [/mm] K$
[mm] $((g\circ f)a)(x)=(ga\circ [/mm] fa)(x)$ weil g und f lineare Abbildungen sind
$=(ga)((fa)(x))$
$=(ga)(f(x)a)$ wieder ausgenutzt, dass f eine lineare Abbildung ist
$=(g(f(x)a)a)$ weil g eine lineare Abbildung ist
[mm] $=(g\circ [/mm] f)(x)a$
Womit ich fertig wäre.
Ich hoffe das ist so nicht ganz falsch.
Über eine Korrektur freue ich mich.
mfg
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Hallo,
> Es sei en V,W und X Vektorräume über K und [mm]f:V\to W[/mm] eine
> lineare Abbildung. Zeigen Sie:
>
> I) Die Abbildung
>
> [mm]\Phi: L(W,X)\to L(V,X)[/mm]
> definiert durch
>
> [mm]g\mapsto g\circ f[/mm]
>
> für [mm]g\in[/mm] L(W,X) ist eine lineare Abbildung.
>
> II) a) Ist f ein Epimorphismus, dann ist [mm]\Phi[/mm] ein
> Monomorphismus
>
> b) Ist f ein Monomorphismus, dann ist [mm]\Phi[/mm] ein
> Epimorphimus
> Erstmal zur Schreibweise:
>
> [mm]L(V,W)=Hom_K(V,W)[/mm] also die Menge aller linearen Abbildungen
> [mm]f:V\to W[/mm]
>
> I)
>
> Ich muss ja folgendes zeigen:
>
> f(x+y)=f(x)+f(y) und f(x)a=(fa)(x)
Du benutzt f sehr oft, das ist doch schon fest vergeben ...
>
> Seien f,g lineare Abbildungen
>
> Zu zeigen: [mm]g\mapsto g\circ f[/mm] ist eine lineare Abbildung.
>
> Sei [mm]v_1, v_2\in V[/mm], dann ist
>
> [mm]g(f(v_1+v_2)=g(f(v_1)+f(v_2)[/mm] weil f eine lineare Abbildung
> ist.
>
> [mm]g(f(v_1)+g(f(v_2))[/mm] weil g eine lineare Abbildung ist.
>
> [mm]=(g\circ f)(v_1)+(g\circ f)(v_2)[/mm]
>
> Nun sei [mm]a\in K[/mm]
>
> [mm]((g\circ f)a)(x)=(ga\circ fa)(x)[/mm] weil g und f lineare
> Abbildungen sind
> [mm]=(ga)((fa)(x))[/mm]
> [mm]=(ga)(f(x)a)[/mm] wieder ausgenutzt, dass f eine lineare
> Abbildung ist
> [mm]=(g(f(x)a)a)[/mm] weil g eine lineare Abbildung ist
> [mm]=(g\circ f)(x)a[/mm]
>
> Womit ich fertig wäre.
>
> Ich hoffe das ist so nicht ganz falsch.
Doch!
Du musst doch zeigen, dass [mm]\Phi[/mm] linear ist, dass also
[mm]\Phi(g+h)=\Phi(g)+\Phi(h)[/mm] ist für alle [mm]g,h\in L(W,X)[/mm] und dass [mm]\Phi(\alpha\cdot{}g)=\alpha\cdot{}\Phi(g)[/mm] für [mm]\alpha\in K, g\in L(W,X)[/mm]
> Über eine Korrektur freue ich mich.
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 02.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Hmm, aber [mm] $\Phi$ [/mm] ist doch durch
[mm] $g\mapsto g\circ [/mm] f$
definiert.
Ich fange also bei
[mm] $\Phi(g+h)$ [/mm] an und muss darauf [mm] $\Phi(g)+\Phi(h)$ [/mm] folgern. Okay.
Aber was habe ich denn für Zusatzinformationen, außer dass g und h lineare Abbildungen sind.
Ich wüsste jetzt nicht wie ich [mm] $\Phi(g+h)$ [/mm] umformen könnte.
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Hallo nochmal,
> Hmm, aber [mm]\Phi[/mm] ist doch durch
>
> [mm]g\mapsto g\circ f[/mm]
>
> definiert.
>
> Ich fange also bei
>
> [mm]\Phi(g+h)[/mm] an und muss darauf [mm]\Phi(g)+\Phi(h)[/mm] folgern.
> Okay.
> Aber was habe ich denn für Zusatzinformationen, außer
> dass g und h lineare Abbildungen sind.
>
> Ich wüsste jetzt nicht wie ich [mm]\Phi(g+h)[/mm] umformen könnte.
Na, die Def. benutzen:
Zu zeigen ist: [mm](g+h)\circ f \ = \ g\circ f \ + \ h\circ f[/mm]
Dazu nimm ein bel. [mm]x\in V[/mm] her und zeige, dass [mm]((g+h)\circ f)(x)=(g\circ f)(x)+(h\circ f)(x)[/mm] gilt ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Do 02.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, okay. Jup das macht Sinn.
Ich werde es gleich mal probieren. Melde mich dann später mit einer hoffentlich besseren Lösung also zuvor... :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 02.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Naja, so wirklich weitergekommen bin ich nicht. Ich habe eigentlich immer noch das Problem, dass ich nicht weiß welche Umformungen ich überhaupt verwenden darf.
Aus meiner Verzweifelung ist nun dieses hier entstanden, was wahrscheinlich so nicht geht:
[mm] $\Phi(g+h)=((g+h)\circ [/mm] f)(x)=(g+h)(f(x))=g(f(x))+h(f(x))
[mm] =(g\circ f)(x)+(h\circ f)(x)=\Phi(g)+\Phi(h)$
[/mm]
Wenn ich $(g+h)(f(x))=g(f(x))+h(f(x))$
verwenden darf, dann ist das ja ganz einfach, aber ich wüsste nicht wieso ich das dürfte. Und wenn ich es dürfte, wovon ich mal nicht ausgehe, dann könnte ich nicht begründen warum ich es darf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Do 02.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Das ist im Prinzip richtig, es fehlt aber ganz am Anfang und ganz an Ende ein ...(x) . Die Verwendung der Beziehung ist einfach die Definition der Addition zweier Abbildungen. Da muss nichts begründet werden.
Vorschlag :
Mache dir die Struktur klar und benutze solche Buchstaben, die das unterstützen, z.B. x [mm] \in [/mm] X, v [mm] \in [/mm] V und nicht x [mm] \in [/mm] V.
Das sieht bei mir dann so aus :
[Dateianhang nicht öffentlich]
$ [mm] \Phi(g) [/mm] = h $ definiert durch $ [mm] \Phi(g)(v) [/mm] = h(v) = g(f(v)) = [mm] (g\circ [/mm] f)(v) $, kurz $ [mm] \Phi(g) [/mm] = [mm] g\circ [/mm] f $
Um zu zeigen, dass $ [mm] \Phi(g_1+g_2) [/mm] = [mm] \Phi(g_1)+\Phi(g_2) [/mm] $ ist, sieht man sich also die Wirkung dieser Abbildung auf irgendein [mm] v\in [/mm] V an :
[mm] \Phi(g_1+g_2)(v) [/mm] = [mm] (g_1+g_2)(f(v)) [/mm] (Definition von [mm] \Phi)
[/mm]
= [mm] g_1(f(v)) [/mm] + [mm] g_2(f(v)) [/mm] (Definition der Addition von Abbildungen in Lin(W,X))
= [mm] \Phi(g_1(v)) [/mm] + [mm] \Phi(g_2(v)) [/mm] (Definition von [mm] \Phi)
[/mm]
= [mm] (\Phi(g_1)+\Phi(g_2))(v) [/mm] (Definition der Addition von Abbildungen in Lin(V,X)).
Um zu zeigen, dass [mm] \Phi [/mm] linear ist, fehlt jetzt noch der Nachweis von $ [mm] \Phi(\alpha [/mm] g) = [mm] \alpha \Phi(g)) [/mm] $ für [mm] \alpha \in [/mm] K.
Und dann der zweite Teil.
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Fr 03.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank für deine Mühe.
Mit was für einem Programm hast du denn dieses tolle Bild gemacht?
Sieht nach Geogebra aus.
Ja, Teil II) wollte ich erst noch alleine Probieren. Ich denke den zweiten Teil um zu zeigen, dass es eine lineare Abbildung ist sollte ich nun (tatsächlich) hinbekommen.
Werde das aber morgen hier noch posten.
Danke euch zwei.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 04.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Wenn ich nun zeigen möchte, dass
[mm] $\Phi(ga)=\Phi(g)a$
[/mm]
ist, bin ich so vorgegangen:
[mm] $\Phi(ga)=((ga)\circ [/mm] f)(x)$ Definition von Phi
$=(ga)(f(x))=(g)(f(x))a$ Da g eine lineare Abbildung
[mm] $=(g\circ [/mm] f)(x)a$ Definition der Verkettung
[mm] $=\Phi(g)a$ [/mm] Definition von Phi
Wäre das so korrekt?
Zum zweiten Teil:
a) Ist f ein Epimorphismus, dann ist [mm] $\Phi$ [/mm] ein Monomorphismus.
Ich muss also zeigen, dass für [mm] $\Phi$ [/mm] gilt,
[mm] $\Phi(v_1\circ v_2)=\Phi(v_1)\circ \Phi(v_2)$
[/mm]
und für [mm] $v_1\neq v_2$ [/mm] gilt [mm] $\Phi(v_1)\neq \Phi(v_2)$
[/mm]
Das es also ein injektiver Homomorphismus ist.
Und ich weiß, dass f ein surjektiver Homomorphimus ist, also gilt:
[mm] $f(v_1\circ v_2)=f(v_1)\circ f(v_2)$ [/mm] und für alle [mm] $v\in [/mm] V$ ist $f(v)=w$
Leider weiß ich jetzt nicht so recht wie ich weiter machen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Wenn ich nun zeigen möchte, dass
>
> [mm]\Phi(ga)=\Phi(g)a[/mm]
>
> ist, bin ich so vorgegangen:
>
> [mm]\Phi(ga)=((ga)\circ f)(x)[/mm] Definition von Phi
> [mm]=(ga)(f(x))=(g)(f(x))a[/mm] Da g eine lineare Abbildung
> [mm]=(g\circ f)(x)a[/mm] Definition der Verkettung
> [mm]=\Phi(g)a[/mm] Definition von Phi
>
> Wäre das so korrekt?
>
Ich kann meine obige Antwort wiederholen :
Im Prinzip ja, aber vorne und hinten fehlt das Argument. (Du nimmst dafür x, besser wäre v).
> Zum zweiten Teil:
>
> a) Ist f ein Epimorphismus, dann ist [mm]\Phi[/mm] ein
> Monomorphismus.
>
> Ich muss also zeigen, dass für [mm]\Phi[/mm] gilt,
>
> [mm]\Phi(v_1\circ v_2)=\Phi(v_1)\circ \Phi(v_2)[/mm]
was soll denn dieser hanebüchene Unsinn bedeuten ?
>
> und für [mm]v_1\neq v_2[/mm] gilt [mm]\Phi(v_1)\neq \Phi(v_2)[/mm]
>
> Das es also ein injektiver Homomorphismus ist.
Da sieht man doch, dass geeignete Buchstabenwahl wichtig ist !
Du musst für $ [mm] g_1, g_2 \in [/mm] Lin(W,X) $ zeigen, dass aus $ [mm] g_1 \not= g_2 [/mm] $ folgt, dass $ [mm] \Phi(g_1) \not= \Phi(g_2) [/mm] $ ist. (Einfacher zeigt man meist $ [mm] \Phi(g_1) [/mm] = [mm] \Phi(g_2) \Rightarrow g_1 [/mm] = [mm] g_2 [/mm] $ (*). )
>
> Und ich weiß, dass f ein surjektiver Homomorphimus ist,
> also gilt:
>
> [mm]f(v_1\circ v_2)=f(v_1)\circ f(v_2)[/mm]
Grober Unfug ! Weder in V noch in W ist eine Verknüpfung [mm] \circ [/mm] definiert !
> und für alle [mm]v\in V[/mm] ist
> [mm]f(v)=w[/mm]
Richtig wäre hier : Für alle w [mm] \in [/mm] W existiert ein v [mm] \in [/mm] V mit f(v) = w.
>
> Leider weiß ich jetzt nicht so recht wie ich weiter machen
> kann...
>
Das steht oben bei (*).
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Sa 04.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Um ehrlich zu sein hatte ich auf meinem Zettel es auch erst mit [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] notiert, aber dann beim schreiben dieses Beitrages daran gezweifelt und es v genannt. :(
Der hanebüchene Unsinn ist doch die Definition eines Homomorphimus und hier ist die Verknüpfung ja die Verkettung.
Für einen Homomorphimus gilt doch:
f(a*b)=f(a)*f(b) wobei * hier irgendeine Verknüpfung ist und in unserem Fall wird es doch verkettet, oder nicht?
Was für eine Verknüpfung ist dann über V oder W definiert? Oder spielt das keine Rolle?
Dann nehme ich mir also nun
[mm] $\Phi(g_1)=\Phi(g_2)$
[/mm]
und zeige [mm] $g_1=g_2$
[/mm]
Dann verwende ich wieder die Definition von Phi:
[mm] $(g_1\circ f)(v)=(g_2\circ [/mm] f)(v)$
[mm] $(g_1)(f(v))=(g_2)(f(v))$
[/mm]
Darf man hier die Verkettung einfach kürzen? Dann hätte ich es ja direkt.
Kommt mir aber auch irgendwie zu einfach vor.
Solche Aufgaben machen mich einfach jedes mal wahnsinnig. Ich weiß nie was ich nun darf und was nicht und auch nie so recht wo ich anfange richtig zu denken und wo ich damit aufhöre. Bin mir einfach immer zu 100% unsicher....
Und dann sehe ich die Lösung und merke, dass es eigentlich gar nicht schwer war.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Ich hatte doch geschrieben, dass du dir die Strutur klar machen sollst und dir auch ein entsprechendes Bild geschickt.
Also nochmal :
[mm] \Phi [/mm] ist eine Abbildung von Lin(W,X) nach Lin(V,X). Man kann bei [mm] \Phi [/mm] eine Lineare Abbildung $ [mm] g:W\to [/mm] X $ einsetzen und bekommt eine lineare Abbildung $ [mm] h:V\to [/mm] X $ heraus : [mm] \Phi(g)=h.
[/mm]
>
> Der hanebüchene Unsinn ist doch die Definition eines
> Homomorphimus und hier ist die Verknüpfung ja die
> Verkettung.
Natürlich nicht ! Du kannst doch keine zwei Abbildungen [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] verketten! $ [mm] (g_1 \circ g_2)(w) [/mm] $ wäre dann doch [mm] g_1(g_2(w))=g_1(x) [/mm] aber [mm] g_1 [/mm] ist doch für Vektoren aus W, nicht für solche aus X definiert.
> Für einen Homomorphimus gilt doch:
>
> f(a*b)=f(a)*f(b) wobei * hier irgendeine Verknüpfung ist
> und in unserem Fall wird es doch verkettet, oder nicht?
>
Nein. Die Verknüpfung ist die Addition. Im Gegensatz zu [mm] \circ [/mm] kann man nämlich [mm] (g_1+g_2)(w) [/mm] sehr wohl bilden : Es ist [mm] (g_1+g_2)(w) [/mm] = [mm] g_1(w)+g_2(w) [/mm] = [mm] x_1+x_2 [/mm] = x (Die Plus-Zeichen sehen zwar gleich aus sind aber natürlich zu unterscheiden : das erste bezeichnet eine Addition in Lin(W,X), die anderen beiden eine Addition im Vektorraum X.)
> Was für eine Verknüpfung ist dann über V oder W
> definiert? Oder spielt das keine Rolle?
Das Wort "über" passt hier gar nicht. Die Antwort habe ich gerade gegeben.
> Dann nehme ich mir also nun
>
> [mm]\Phi(g_1)=\Phi(g_2)[/mm]
>
> und zeige [mm]g_1=g_2[/mm]
>
Ja. Mache dir klar, wie man die Gleichheit von zwei Abbildungen zeigt : Es ist nachzuweisen, dass sie für alle Argumente (hier : für alle w [mm] \in [/mm] W) dasselbe Bild liefern.
Du nimmst dir also irgendein w [mm] \in [/mm] W her und zeigst [mm] g_1(w) [/mm] = [mm] g_2(w).
[/mm]
Überlege dir genau, an welcher Stelle des Beweises die Surjektivität von f gebraucht wird.
> Dann verwende ich wieder die Definition von Phi:
>
> [mm](g_1\circ f)(v)=(g_2\circ f)(v)[/mm]
> [mm](g_1)(f(v))=(g_2)(f(v))[/mm]
>
> Darf man hier die Verkettung einfach kürzen? Dann hätte
> ich es ja direkt.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Sa 04.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Angenommen
[mm] $\Phi(g_1)=\Phi(g_2)$
[/mm]
sei [mm] $w\in [/mm] W$ beliebig, dann gilt
[mm] $(g_1\circ f)(w)=(g_2\circ [/mm] f)(w)$
[mm] $(g_1)(f(w))=(g_2)(f(w))$
[/mm]
Weil f surjektiv ist existiert für alle [mm] $w\in [/mm] W$ ein [mm] $v\in [/mm] V$ mit f(w)=v
[mm] $(g_1)(v)=(g_2)(v)$ [/mm] und somit auch
[mm] $g_1=g_2$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Angenommen
>
> [mm]\Phi(g_1)=\Phi(g_2)[/mm]
>
> sei [mm]w\in W[/mm] beliebig, dann gilt
>
> [mm](g_1\circ f)(w)=(g_2\circ f)(w)[/mm]
Warum sollte das gelten ? Begründung fehlt. (Hinweis : Es gilt NICHT.)
> [mm](g_1)(f(w))=(g_2)(f(w))[/mm]
Das ist eine sinnlose Aneinanderreihung von Buchstaben.
f(w) ist doch Quatsch. f ist eine Abbildung von V nach W.
>
> Weil f surjektiv ist existiert für alle [mm]w\in W[/mm] ein [mm]v\in V[/mm]
> mit f(w)=v
>
Umgekehrt : f(v)=w
> [mm](g_1)(v)=(g_2)(v)[/mm] und somit auch
>
> [mm]g_1=g_2[/mm]
Bei g sind Argumente w [mm] \in [/mm] W vorgesehen.
Starte doch mit : Sei w [mm] \in [/mm] W beliebig. Dann ergibt sich [mm] g_1(w) [/mm] = ... = ... = ... und forme solange um, bis du am Ende ... = ... = [mm] g_2(w) [/mm] stehen hast.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 04.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Sei [mm] $w\in [/mm] W$ beliebig, dann ist:
[mm] $g_1(w)=g_1(f(v))$
[/mm]
da f(v)=w gilt für alle [mm] $w\in [/mm] W$ und alle [mm] $v\in [/mm] V$
[mm] $=(g_1\circ f)(v)=\Phi(g_1)(v)$
[/mm]
Aber wie soll ich bei solchen Umformungen ein [mm] $g_2$ [/mm] herholen, wenn ich es nicht vorher erwähne?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sei [mm]w\in W[/mm] beliebig, dann ist:
>
> [mm]g_1(w)=g_1(f(v))[/mm]
>
> da f(v)=w gilt für alle [mm]w\in W[/mm] und alle [mm]v\in V[/mm]
>
Die Quantoren sind falsch. Das hattest du doch vorher schon richtig.
> [mm]=(g_1\circ f)(v)=\Phi(g_1)(v)[/mm]
>
> Aber wie soll ich bei solchen Umformungen ein [mm]g_2[/mm] herholen,
> wenn ich es nicht vorher erwähne?
Es wurde doch erwähnt, als wir feststellten : "Um zu zeigen, dass [mm] \Phi [/mm] injektiv ist, nehmen wir zwei beliebige Abbildungen [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] mit [mm] \Phi(g_1) [/mm] = [mm] \Phi(g_2) [/mm] und weisen [mm] g_1 [/mm] = [mm] g_2 [/mm] nach :"
Gruß Sax.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 04.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, und weil
[mm] $g_1(w)=\Phi(g_1)(v)$
[/mm]
und [mm] $g_1=g_2$
[/mm]
folgt nun auch
[mm] $\Phi(g_1)(v)=\Phi(g_2)(v)$
[/mm]
?
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> Ah, und weil
>
> [mm]g_1(w)=\Phi(g_1)(v)[/mm]
>
> und [mm]g_1=g_2[/mm]
>
> folgt nun auch
>
> [mm]\Phi(g_1)(v)=\Phi(g_2)(v)[/mm]
Hallo,
natürlich ist für [mm] g_1=g_2 [/mm] richtig, daß
[mm] \Phi(g_1)=\Phi(g_2),
[/mm]
und folglich stimmt auch
[mm] \Phi(g_1)(v)=\Phi(g_2)(v) [/mm] für alle [mm] v\in [/mm] V.
Aber das ist nun echt nicht so die Hammer-Aussage...
Du willst doch etwas ganz anderes zeigen:
für f surjektiv ist [mm] \Phi [/mm] injektiv.
Sei f surjektiv, und es sei [mm] \Phi(g_1)=\Phi(g_2) [/mm] .
[Vorrechnen mußt Du nun, daß aus [mm] \Phi(g_1)=\Phi(g_2) [/mm] folgt,
daß [mm] g_1=g_2 [/mm] gilt, daß also für alle [mm] w\in [/mm] W gilt: [mm] g_1(w)=g_2(w).]
[/mm]
Sei [mm] w\in [/mm] W.
Da f surjektiv ist, gibt es zu jedem ... ein passendes ... mit ....
Es ist
[mm] g_1(w)=g_1(...)=(...\circ...)(...)=\Phi(g_1)(...)=\Phi(g_2)(...)=(...\circ...)(...)=g_2(...)=g_2(...).
[/mm]
Also ist [mm] g_1=g_2.
[/mm]
LG Angela
>
> ?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 05.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Angenommen [mm] $\Phi(g_1)=\Phi(g_2)$ [/mm] zu zeigen:
[mm] $g_1=g_2$
[/mm]
Sei nun [mm] $w\in [/mm] W$ beliebig.
Da f surjektiv ist gibt es zu jedem [mm] $v\in [/mm] V$ ein [mm] $w\in [/mm] W$ mit $f(v)=w$
Es ist:
[mm] $g_1(w)=g_1(f(v))=(g_1\circ f)(v)=\Phi(g_1)(v)$
[/mm]
[mm] $=\Phi(g_2)(v)=(g_2\circ f)(v)=g_2(f(v))=g_2(w)$
[/mm]
Also [mm] $g_1=g_2$
[/mm]
Ist es hier überhaupt nicht notwendig die Homomorphieigenschaft zu zeigen?
Ich hoffe das passt jetzt so, was würde ich nur ohne diesen Lückentexten machen und jetzt wo ich die Lösung sehe verstehe ich wiederrum nicht wieso ich es nicht schon vorher verstanden habe...
Dann zu b)
Sei f ein Monomorphismus , dann ist [mm] $\Phi$ [/mm] ein Epimorphismus.
f ist injektiv, daher gibt es zu jedem [mm] $v\in [/mm] V$ höchstens ein [mm] $w\in [/mm] W$ mit $f(v)=w$
Um die Surjektivität von [mm] $\Phi$ [/mm] zu zeigen muss gelten, dass stets [mm] $\Phi(g)=v$ [/mm] gilt für alle [mm] $g\in [/mm] L(W,X)$
Benötige ich hier eine Art Fallunterscheidung im Beweis? Einmal für den Fall, dass dieses w existiert und einmal, dass dieses w nicht existiert für f(v)=w, denn die injektivität sagt ja, dass es höchstens ein solches w geben kann, aber nicht zwangsweise geben muss.
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> Angenommen [mm]\Phi(g_1)=\Phi(g_2)[/mm] zu zeigen:
>
> [mm]g_1=g_2[/mm]
>
> Sei nun [mm]w\in W[/mm] beliebig.
> Da f surjektiv ist gibt es zu jedem [mm]v\in V[/mm] ein [mm]w\in W[/mm] mit
> [mm]f(v)=w[/mm]
>
> Es ist:
>
> [mm]g_1(w)=g_1(f(v))=(g_1\circ f)(v)=\Phi(g_1)(v)[/mm]
>
> [mm]=\Phi(g_2)(v)=(g_2\circ f)(v)=g_2(f(v))=g_2(w)[/mm]
>
> Also [mm]g_1=g_2[/mm]
>
> Ist es hier überhaupt nicht notwendig die
> Homomorphieigenschaft zu zeigen?
Hallo,
was ist zu zeigen, wenn Du zeigen willst, daß [mm] \Phi [/mm] ein VR-Homomorphismus ist?
(Hast Du das womöglich schon gezeigt?...)
> Dann zu b)
>
> Sei f ein Monomorphismus , dann ist [mm]\Phi[/mm] ein
> Epimorphismus.
>
> f ist injektiv, daher gibt es zu jedem [mm]v\in V[/mm] höchstens
> ein [mm]w\in W[/mm] mit [mm]f(v)=w[/mm]
Oh Mann!
Das ist doch nicht die Injektivität!
Wenn es kein solches w gäbe, wäre f keine Funktion.
f ist aber eine Funktion, deshalb gibt es zu jedem [mm] v\in [/mm] V ein [mm] w\in [/mm] W mit f(v)=w.
Nun müßtest Du Dich mal informieren, was es bedeutet, wenn eine Funktion injektiv ist.
>
> Um die Surjektivität von [mm]\Phi[/mm] zu zeigen muss gelten, dass
> stets [mm]\Phi(g)=v[/mm] gilt für alle [mm]g\in L(W,X)[/mm]
Was für ein Quatsch!
Wie soll denn [mm] \Phi(g)=v\in [/mm] V sein.
In welche Menge bildet [mm] \Phi [/mm] denn ab?
Surjektivität sagt nun, daß auf jedes beliebige Element der Zielmenge ein Element der Definitionsmenge abgebildet wird.
LG Angela
>
> Benötige ich hier eine Art Fallunterscheidung im Beweis?
> Einmal für den Fall, dass dieses w existiert und einmal,
> dass dieses w nicht existiert für f(v)=w, denn die
> injektivität sagt ja, dass es höchstens ein solches w
> geben kann, aber nicht zwangsweise geben muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 05.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Achso, die Homomorphieigenschaft sollte direkt daraus folgen, dass [mm] $\Phi$ [/mm] eine lineare Abbildung ist.
Ja, da bin ich irgendwie mit Epimorphismus und Monomorphismus durcheinander gekommen, wollte also was zum Epimorphismus schreiben und naja, war halt ziemlich dumm...
Injektivität heißt, dass jeder Wert im Bildbereich genau einmal angenommen wird.
[mm] $\Phi$ [/mm] bildet auf die Menge der linearen Abbildungen L(V,X) ab.
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> Achso, die Homomorphieigenschaft sollte direkt daraus
> folgen, dass [mm]\Phi[/mm] eine lineare Abbildung ist.
Hallo,
eine lineare Abbildung ist ein VR-Homomorphismus, und daß die Abbildung linear ist, hast Du zu Anfang gezeigt oder zeigen sollen.
>
> Injektivität heißt, dass jeder Wert im Bildbereich genau
> einmal angenommen wird.
Sag mal, rätst Du jetzt in der Gegend umher, oder hast Du vielleicht Unterlagen, in denen Du mal nachschlagen kannst? Letzteres wäre eine gute Idee...
> [mm]\Phi[/mm] bildet auf die Menge der linearen Abbildungen L(V,X)
> ab.
Ja.
Was mußt Du also zeigen, wenn Du zeigen möchtest, daß [mm] \Phi [/mm] surjektiv ist?
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 06.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Um zu zeigen, dass Phi surjektiv ist muss ich beweisen, dass jede lineare Abbildung in L(V,W) mindestens einmal angenommen wird.
Und weil f injektiv ist nimmt diese Abbildung jeden Wert höchstens einmal an.
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Hallo,
genau.
Und nun leg los.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Di 07.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Angenommen [mm] $(g\circ f_1)(v)=(g\circ f_2)(v)$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $f_1(v)=f_2(v)$
[/mm]
Sei nun [mm] $v\in [/mm] V$ beliebig mit [mm] $f_1(v)=w_1$ [/mm] und [mm] $f_2(v)=w_2$
[/mm]
Dann ist:
[mm] $g(w_1)=g(f_1(v))=(g\circ f_1)(v)=(g\circ f_2)(v)=g(f_2(v))=g(w_2)$
[/mm]
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Hallo,
YuSul - lt. Profil studierst Du Mathematik.
Ich erwarte daher, daß Du zumindest versuchst, Deine Gedankengänge nachvollziehbar zu schildern.
Was möchtest Du gerade zeigen? Vielleicht sagst Du mal klar und deutlich, welche Aufgabe Du zu bearbeiten gedenkst.
> Angenommen [mm](g\circ f_1)(v)=(g\circ f_2)(v)[/mm]
Warum nimmst Du das an? Was hat es mit der zu zeigenden Aussage zu tun?
Welches [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2?
[/mm]
Ich gebe zu, ich habe ein Gläschen Wein getrunken.
Aber ob es wirklich daran liegt, daß ich nicht durchblicke?
>
> Zu zeigen: [mm]f_1(v)=f_2(v)[/mm]
???
Ich dachte, Du bist bei b).
Vielleicht sollte wirklich ertmal geklärt werden, welche Aussage Du beweisen möchtest.
Irgendwie sollte ja auch [mm] \Phi [/mm] im Speil sein, oder?
LG Angela
>
> Sei nun [mm]v\in V[/mm] beliebig mit [mm]f_1(v)=w_1[/mm] und [mm]f_2(v)=w_2[/mm]
>
> Dann ist:
>
> [mm]g(w_1)=g(f_1(v))=(g\circ f_1)(v)=(g\circ f_2)(v)=g(f_2(v))=g(w_2)[/mm]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:28 Di 07.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja ich bin bei b) und dort möchte ich ja die Surjektivität von Phi zeigen.
Und für einen Epimorphismus gilt ja die Implikation
[mm] $(g\circ f_1)=(g\circ f_2)\Rightarrow f_1=f_2$
[/mm]
Was ich zeigen wollte. [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] sind injektive, lineare Abbildungen von [mm] $V\to [/mm] W$.
Nun wollte ich unter der Annahme, dass [mm] $(g\circ f_1)=(g\circ f_2)$ [/mm] zeigen, dass [mm] $f_1=f_2$ [/mm] folgt. [mm] $v\in [/mm] V [mm] f_1(v)=w_1$ [/mm] und [mm] $f_2(v)=w_2$ [/mm] sei, für [mm] $w_1,w_2\in [/mm] W$
Im Prinzip orientiere ich mich dabei von der Vorgehensweise stark an der a). Dort hatten wir ja auch die Annahme [mm] $\Phi(g_1)=\Phi(g_2)$ [/mm] getätigt, und dies wollte ich nun für die surjektivität modifizieren.
Meine "Lösung" war dann folgende:
[mm] $g(w_1)=g(f_1(v))$ [/mm] so hatte ich [mm] $f_1(v)$ [/mm] ja festgelegt.
[mm] $=(g\circ f_1)(v)$ [/mm] Definition von der Verkettung angewandt.
[mm] $=(g\circ f_2)(v)$ [/mm] gilt nun nach Annahme.
Und nun alles "Rückwärts":
[mm] $(g\circ f_2)(v)=g(f_2(v))=g(w_2)$
[/mm]
Insgesamt also:
[mm] $g(w_1)=g(w_2)$
[/mm]
Also [mm] $f_1=f_2$, [/mm] weil wir v ja beliebig gewählt hatten.
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> Ja ich bin bei b) und dort möchte ich ja die
> Surjektivität von Phi zeigen.
Hallo,
aha. Unter welcher Voraussetzung?
>
> Und für einen Epimorphismus
für welchen? Von Wo nach wo?
> gilt ja die Implikation
>
> [mm](g\circ f_1)=(g\circ f_2)\Rightarrow f_1=f_2[/mm]
Nein.
> Was ich zeigen wollte. [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] sind injektive, lineare
> Abbildungen von [mm]V\to W[/mm].
???
Wofür?
LG Angela
>
> Nun wollte ich unter der Annahme, dass [mm](g\circ f_1)=(g\circ f_2)[/mm]
> zeigen, dass [mm]f_1=f_2[/mm] folgt. [mm]v\in V f_1(v)=w_1[/mm] und
> [mm]f_2(v)=w_2[/mm] sei, für [mm]w_1,w_2\in W[/mm]
>
> Im Prinzip orientiere ich mich dabei von der Vorgehensweise
> stark an der a). Dort hatten wir ja auch die Annahme
> [mm]\Phi(g_1)=\Phi(g_2)[/mm] getätigt, und dies wollte ich nun für
> die surjektivität modifizieren.
>
> Meine "Lösung" war dann folgende:
>
> [mm]g(w_1)=g(f_1(v))[/mm] so hatte ich [mm]f_1(v)[/mm] ja festgelegt.
>
> [mm]=(g\circ f_1)(v)[/mm] Definition von der Verkettung angewandt.
>
> [mm]=(g\circ f_2)(v)[/mm] gilt nun nach Annahme.
>
> Und nun alles "Rückwärts":
>
> [mm](g\circ f_2)(v)=g(f_2(v))=g(w_2)[/mm]
>
> Insgesamt also:
>
> [mm]g(w_1)=g(w_2)[/mm]
>
> Also [mm]f_1=f_2[/mm], weil wir v ja beliebig gewählt hatten.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 07.01.2014 | | Autor: | YuSul |
"Unter welcher Voraussetzung?"
Unter der Voraussetzung, dass $f: [mm] V\to [/mm] W$ ein Monomorphismus ist.
"für welchen? Von Wo nach wo?"
Für [mm] $\Phi:L(W,X)\to [/mm] L(V,X)$
> gilt ja die Implikation
>
> $ [mm] (g\circ f_1)=(g\circ f_2)\Rightarrow f_1=f_2 [/mm] $
Nein.
:'(
Dieses Wissen hatte ich aus einem anderem Thread hier entnommen.
https://matheraum.de/forum/epimorphismus+srjektiv+funktio/t32063
Dort heißt es:
"Ein paar Worte zur Definition des Epiomorphimus:
[...]
So, nun wissen wir, dass für einen Epimorphismus die Implikation $ [mm] h\circ f=k\circ f\Rightarrow [/mm] h=k $ gilt."
Da unser Phi durch
[mm] $g\mapsto g\circ [/mm] f$ definiert war hatte ich es in meiner "Version" dann gedreht.
Ist es deshalb falsch, oder ist es generell falsch?
__
Ich muss für die Surjektivität von Phi ja zeigen, dass für jede lineare Abbildung von [mm] $W\to [/mm] X$ im Urbild eine lineare Abbildung von [mm] $V\to [/mm] X$ im Bild von Phi finden können.
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Hallo,
Du möchtest zeigen, daß [mm] \Phi [/mm] ein Epimorphismus ist.
> "Unter welcher Voraussetzung?"
>
> Unter der Voraussetzung, dass [mm]f: V\to W[/mm] ein Monomorphismus
> ist.
Ja.
>
>
> "für welchen? Von Wo nach wo?"
>
> Für [mm]\Phi:L(W,X)\to L(V,X)[/mm]
>
>
>
>
> > gilt ja die Implikation
> >
> > [mm](g\circ f_1)=(g\circ f_2)\Rightarrow f_1=f_2[/mm]
>
> Nein.
>
> :'(
>
>
> Dieses Wissen hatte ich aus einem anderem Thread hier
> entnommen.
Ich finde es gut, daß Du nachgeschlagen hast.
Es ist aber die Frage, wie sinnvoll es ist, die Definition von Epimorphismus (und anderem) in irgendwelchen Threads nachzuschlagen...
Das, was Du dort gelesen hast, ist mit größer Wahrscheinlichkeit nicht die Definition, die in den meisten LA-Vorlesungen serviert wird.
>
> https://matheraum.de/forum/epimorphismus+srjektiv+funktio/t32063
Dort steht, daß eine Abbildung [mm] f:A\to [/mm] B Epimorphismus heißt,
wenn für alle beliebigen Funktionen [mm] h,k:B\to [/mm] C gilt, daß
[mm] h\circ f=k\circ [/mm] f.
>
> Da unser Phi durch
>
> [mm]g\mapsto g\circ f[/mm] definiert war hatte ich es in meiner
> "Version" dann gedreht.
> Ist es deshalb falsch, oder ist es generell falsch?
Was Du getan hast, ist so grottenfalsch, daß ich gar nicht weiß, wo ich anfangen soll.
Du kannst doch nicht einfach nach Deinem Gutdünken Definitionen ummodeln und "drehen"...
Außerdem hast Du die im anderen Thread gelesene Definition nicht auf [mm] \Phi [/mm] übertragen.
Hättest Du das getan, dann hättest Du:
[mm] \Phi:L(W,X)\to [/mm] L(V,X) heißt Epimorphismus ,
wenn für alle beliebigen Funktionen h,k: L(V,X) [mm] \to [/mm] C gilt, daß
[mm] h\circ \Phi=k\circ \Phi,
[/mm]
dh. für alle h,k: L(V,X) [mm] \to [/mm] C und [mm] g\in [/mm] L(W,X) gilt
[mm] h\circ\Phi(g)=k\circ \Phi(g),
[/mm]
also
[mm] h\circ g\circ f=k\circ g\circ [/mm] f,
dh. für alle h,k: L(V,X) [mm] \to [/mm] C , für alle [mm] g\in [/mm] L(W,X) und für alle [mm] v\in [/mm] V gilt
[mm] h\circ g\circ f(v)=k\circ g\circ [/mm] f(v)
Aber legen wir das jetzt mal zu den Akten.
Ich gehe davon aus, daß in Deiner Vorlesung gesagt wurde, daß ein Epimorphismus eine surjektive lineare Abbildung ist.
Daß [mm] \Phi [/mm] eine lineare Abbildung ist, wurde bereits gezeigt.
Du sollst nun zeigen:
wenn das [mm] f:V\to [/mm] W, welches bei der Def. der Funktion [mm] \Phi [/mm] eine wesentliche Rolle spielt, injektiv ist, dann ist die [mm] \Funktion \Phi [/mm] surjektiv.
Dazu ist zu zeigen:
für jedes beliebige Element der Zielmenge L(V,X) findet man ein passendes Element der Definitionsmenge L(W,X), welches vermöge [mm] \Phi [/mm] darauf abgebildet wird.
Mit ein paar mehr Zeichen:
für alle [mm] \varphi\in [/mm] L(V,X) gibt es ein [mm] g\in [/mm] L(W,X) mit
[mm] \Phi(g)=\varphi.
[/mm]
Die ist die Aussage, die zu zeigen ist, und an irgendeiner Stelle des Beweises wird die Injektivität von f eine Rolle spielen.
Die Existenz solch einer Funktion g zeigt man, indem man eine passende Funktion definiert und nachweist, daß das definierte Dingens erstens wirklich eine Funktion ist und zweitens alles tut, was es tun soll. Hier: daß die definerte Funktion auf [mm] \varphi [/mm] abgebildet wird.
>
> Ich muss für die Surjektivität von Phi ja zeigen, dass
> für jede lineare Abbildung von [mm]W\to X[/mm] im Urbild eine
> lineare Abbildung von [mm]V\to X[/mm] im Bild von Phi finden
> können.
Neiiiiiiiiiin!
Wo nimmst Du diese krausen Dinge bloß her?
Du mußt zeigen, daß Du für jede Abbildung der Zielmenge L(V,X)
eine Abbildung im Urbild L(W,X) findest, die darauf abgebildet wird.
Wenn Du mit Erfolg studieren möchtest, solltest Du Dich daran gewöhnen, genauer zu arbeiten. Du kannst Mathematik nicht "pi mal Daumen" angehen, sondern Du mußt mit den Definitionen arbeiten und den Sätzen.
Was man nicht weiß, muß man nachschlagen. Sofort. Nicht erst rumraten oder auf den spiritus sanctus warten.
Wenn Du Deine Arbeitsweise nicht umstellst, wirst Du eine Bauchlandung machen.
Ich kritisiere ausdrücklich nicht, daß Du den Beweis nicht hinbekommen hast bisher. Du bist ja hier, weil Du Hilfe brauchst, und das ist völlig in Ordnung.
Aber daß es bisher noch nicht gelungen war, hinzuschreiben, was zu zeigen ist, wenn man zeigen möchte, daß [mm] \Phi [/mm] ein Epimorphismus ist, empfinde ich als eine mittlere Katastrophe.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mi 08.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich denke, dass ein Problem was ich habe ist, dass wir nie wirklich aufgeschrieben haben was ein Epimorphismus, Monomorphismus oder Isomorphismus ist.
In meinem Skript habe ich dazu lediglich stehen:
Ein Epimorphismus ist ein surjektiver Homomorphismus.
Und das war es dann auch schon.
Und surjektivität, injektivität und bijektivität hatten wir damals auch nie wirklich definiert. Ebenfalls nur sprachlich und nicht so wie du es jetzt zum Beispiel aufgeschrieben hast. Zugegeben kann man sich das formelle denken, aber ich sehe dann meistens lieber nochmal nach wie es auf Wikipedia steht, zum Beispiel.
Ich kann mir vorstellen, dass du denkst ich sei faul, oder das ich dir einfach die Lösung rausleiern will, aber das ist eigentlich nicht so. Ich weiß auch nicht woran es liegt, dass ich in linearer Algebra solche Probleme habe. Die Analysis Zettel löse ich meistens ohne größere Probleme und in linearer Algebra habe ich dann immer das Gefühl ich würde schon an den einfachsten Dingen scheitern. Und das obwohl ich immer der Meinung bin in der Analysis Vorlesung weit weniger zu verstehen als in linearer Algebra...
Und wie ich die Wohldefiniertheit von $g$ zeigen soll, das weiß ich auch nicht so recht wie ich das machen kann...
Also, ich muss ja zeigen, dass g eine Abbildung ist. Daher das für jedes Element aus dem Definitionsbereich es genau eines im Wertebereich gibt.
Dann muss ich zeigen, dass diese Funktion auf L(V,X) abbildet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 08.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich denke, dass ein Problem was ich habe ist, dass wir nie
> wirklich aufgeschrieben haben was ein Epimorphismus,
> Monomorphismus oder Isomorphismus ist.
>
> In meinem Skript habe ich dazu lediglich stehen:
>
> Ein Epimorphismus ist ein surjektiver Homomorphismus.
>
> Und das war es dann auch schon.
>
> Und surjektivität, injektivität und bijektivität hatten
> wir damals auch nie wirklich definiert. Ebenfalls nur
> sprachlich und nicht so wie du es jetzt zum Beispiel
> aufgeschrieben hast. Zugegeben kann man sich das formelle
> denken, aber ich sehe dann meistens lieber nochmal nach wie
> es auf Wikipedia steht, zum Beispiel.
Eigne Dir diese Begriffe schleunigst an !
>
> Ich kann mir vorstellen, dass du denkst ich sei faul, oder
> das ich dir einfach die Lösung rausleiern will, aber das
> ist eigentlich nicht so. Ich weiß auch nicht woran es
> liegt, dass ich in linearer Algebra solche Probleme habe.
> Die Analysis Zettel löse ich meistens ohne größere
> Probleme und in linearer Algebra habe ich dann immer das
> Gefühl ich würde schon an den einfachsten Dingen
> scheitern. Und das obwohl ich immer der Meinung bin in der
> Analysis Vorlesung weit weniger zu verstehen als in
> linearer Algebra...
>
> Und wie ich die Wohldefiniertheit von [mm]g[/mm] zeigen soll, das
> weiß ich auch nicht so recht wie ich das machen kann...
Was sollst Du machen ??? Wie kommst Du auf so etwas ?
>
> Also, ich muss ja zeigen, dass g eine Abbildung ist. Daher
> das für jedes Element aus dem Definitionsbereich es genau
> eines im Wertebereich gibt.
> Dann muss ich zeigen, dass diese Funktion auf L(V,X)
> abbildet.
f ist fest aus L(V,W)
und
$ [mm] \Phi: L(W,X)\to [/mm] L(V,X) $
definiert durch
$ [mm] \Phi(g):= g\circ [/mm] f $
FRED
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 08.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann hatte ich diesen Satz von Angela wohl missverstanden:
"Die Existenz solch einer Funktion g zeigt man, indem man eine passende Funktion definiert und nachweist, daß das definierte Dingens erstens wirklich eine Funktion ist und zweitens alles tut, was es tun soll. Hier: daß die definerte Funktion auf $ [mm] \varphi [/mm] $ abgebildet wird."
[mm] $\Phi(g):=g\circ [/mm] f$
und [mm] $f\in [/mm] L(V,W)$
[mm] $g\circ [/mm] f=g(f(v))$
Weil f injektiv ist gibt es zu jedem [mm] $w\in [/mm] W$ höchstens ein [mm] $v\in [/mm] V$ mit $f(v)=w$
g(f(v))=g(w)
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> Dann hatte ich diesen Satz von Angela wohl missverstanden:
>
> "Die Existenz solch einer Funktion g zeigt man, indem man
> eine passende Funktion definiert und nachweist, daß das
> definierte Dingens erstens wirklich eine Funktion ist und
> zweitens alles tut, was es tun soll. Hier: daß die
> definerte Funktion auf [mm]\varphi[/mm] abgebildet wird."
Hallo,
das ist schon zu zeigen - aber zuerst braucht man ja das passende g.
> [mm]\Phi(g):=g\circ f[/mm]
>
> und [mm]f\in L(V,W)[/mm]
Nein. Sondern:
Für [mm]f\in L(V,W)[/mm]
ist definiert die Funktion
[mm] \Phi:L(W,X)\to [/mm] L(V,X)
mit
[mm] \Phi(g):=g\circ [/mm] f.
>
> [mm]g\circ f=g(f(v))[/mm]
Das ist totaler Blödsinn.
Links steht eine Funktion, rechts ein Element der Menge X.
> Weil f injektiv ist gibt es zu jedem [mm]w\in W[/mm] höchstens ein
> [mm]v\in V[/mm] mit [mm]f(v)=w[/mm].
Ja.
Anders gesagt:
[mm] f(v_1)=f(v_2) [/mm] ==> [mm] v_1=v_2.
[/mm]
> g(f(v))=g(w)
Was willst Du damit sagen?
Ich hatte doch schon gesagt, was zu tun ist, wenn Du zeigen willst, daß [mm] \Phi [/mm] surjektiv ist:
für alle $ [mm] \varphi\in [/mm] $ L(V,X) gibt es ein $ [mm] g\in [/mm] $ L(W,X) mit
$ [mm] \Phi(g)=\varphi. [/mm] $
Beweis:
Sei $ [mm] \varphi\in [/mm] $ L(V,X).
So, und nun mußt Du mal ein bißchen rumprobieren (vielleicht auch Bildchen malen) und Dir überlegen, welche Funktion aus L(W,X) darauf abgebildet wird, wie Du sie Dir basteln kannst.
Du suchst ein g mit
[mm] \Phi(g)= \varphi,
[/mm]
also ein g so, daß für alle [mm] v\in [/mm] V gilt
[mm] \Phi(g)(v)=\varphi(v).
[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 08.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich muss jetzt also eine Funktion g finden, die eine lineare Abbildung ist und
$g: [mm] W\to [/mm] X$
abbildet und soll dafür eine "Funktionsvorschrift"
[mm] $g\mapsto \dotso$
[/mm]
Finden, dass wenn ich sie in Phi einsetze ich eine lineare Abbildung [mm] $\varphi: V\to [/mm] X$ erhalte?
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> Ich muss jetzt also eine Funktion g finden, die eine
> lineare Abbildung ist und
>
> [mm]g: W\to X[/mm]
>
> abbildet und soll dafür eine "Funktionsvorschrift"
>
> [mm]g\mapsto \dotso[/mm]
>
> Finden, dass wenn ich sie in Phi einsetze ich eine lineare
> Abbildung [mm]\varphi: V\to X[/mm] erhalte?
Ja, genau!
LG Angela
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