Raumdiagonalen eines Spats < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an alle,
ich stecke gerade mitten immeinen Abi-Vorbereitungen (Prüfung: 27.04.05 !) und bin in meinem Buch auf eine Aufgabe gestoßen, für die mir scheinbar das Verständnis fehlt oder zumindest weiß ich nicht genau, wie ich da rangehen soll. Also die Aufgabe:
Zeigen Sie: Die Raumdiagonalen des Spats (ABCDEFGH), der durch die Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] aufgespannt wird, schneiden sich.
[mm] \vec{a}= \vektor{8 \\ 0\\ 0}, \vec{b}= \vektor{2 \\ 2\\ 1}, \vec{c}= \vektor{1 \\ 1\\ 3}
[/mm]
Könnte mir bitte jemand wenigstens bei einem Ansatz helfen? Ich habe leider keine Ahnung, wie ich überhaupt erst anfangen soll.
Danke!
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Hallo Sunshine85!
> Zeigen Sie: Die Raumdiagonalen des Spats (ABCDEFGH), der
> durch die Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b},[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm]
> aufgespannt wird, schneiden sich.
>
> [mm]\vec{a}= \vektor{8 \\ 0\\ 0}, \vec{b}= \vektor{2 \\ 2\\ 1}, \vec{c}= \vektor{1 \\ 1\\ 3}[/mm]
Also das Prinzip ist Folgendes:
Du stellst die Raumdiagonalen als Geraden dar und berechnest den Schnittpunkt der beiden Geraden (bzw. zeigst, dass sie sich schneiden). Um die Geraden aufzustellen, nimmst du am einfachsten als Stützvektor den Ursprung, also den Nullpunkt, also du schreibst quasi gar nichts hin. Und als Richtungsvektor benötigst du dann quasi die Raumdiagonale, die berechnest du einfach, indem du alle drei Vektoren addierst (veranschauliche dir das am besten nochmal im Zweidimensionalen, wie es aussieht, wenn man zwei Vektoren addiert - wenn du nämlicht z. B. die beiden Seiten eines Parallelogramms addierst, erhältst du die Diagonale, und genauso ist es im Dreidimensionalen bei einem Spat).
Und für die zweite Gerade machst du theoretisch das Gleiche, du musst nur woanders anfangen und die Diagonale berechnet sich etwas anders (irgendein Vektor müsste da negativ genommen werden). Zeiche die die Vektoren am besten mal in ein Koordinatensystem, dann müsstest du erkennen, wie du rechnen kannst. Ansonsten frag nochmal. 
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Hab es gleich mal ausprobiert und bin sogar auf ein (hoffentlich richtiges) Ergebnis gekommen )
Ist es okay, wenn ich den Vektor a als Ortsvektor für die zweite Diagonale bestimme und [mm] \vec{m} [/mm] = (- [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c} [/mm] ) als Richtungsvektor verwende? Dann komme ich auf einen Schnittpunkt bei S(5,5/1,5/2), egal in welche Geradengleichung ich r bzw. s einsetze.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
