Raumfüllende Kurve < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 So 07.05.2006 | | Autor: | ps4c7 |
| Aufgabe | Eine stetige Kurve, die ein Quadrat ganz ausfülllt (sog. Peanokurve).
Sei [mm] f:\IR\to[0,1] [/mm] eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:
[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }0 \le t \le \bruch{1}{3} \\ 1, & \mbox{für } \bruch{2}{3} \le t \le 1 \end{cases} [/mm] und f(t+2)=f(t).
Seien [mm] x(t):=\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n}f(3^{2n-1}t) [/mm] , [mm] y(t):=\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n}f(3^{2n}t).
[/mm]
Man zeige: Die Kurve [mm] \gamma:\IR\to\IR^{2} [/mm] mit [mm] \gamma(t)=(x(t),y(t)) [/mm] bildet das Intervall I=[0,1] surjektiv auf das Quadrat [mm] I^{2}\subset\IR^{2} [/mm] ab. |
Ich stell mir das ganze so vor, dass die Kurve jeden Punkt des Quadrats [mm] I^{2} [/mm] mindestens einmal trifft. Mein Problem ist nur, dass ich gar nicht weiß, wie ich an die Sache herangehen soll. Freue mich über jeden Tipp von euch.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) Matheplanet
MfG ps4c7
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo ps4c7 (psact?)!
> Eine stetige Kurve, die ein Quadrat ganz ausfülllt (sog.
> Peanokurve).
> Sei [mm]f:\IR\to[0,1][/mm] eine stetige Funktion mit folgenden
> Eigenschaften:
> [mm]f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }0 \le t \le \bruch{1}{3} \\ 1, & \mbox{für } \bruch{2}{3} \le t \le 1 \end{cases}[/mm]
> und f(t+2)=f(t).
> Seien [mm]x(t):=\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n}f(3^{2n-1}t)[/mm] ,
> [mm]y(t):=\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n}f(3^{2n}t).[/mm]
> Man zeige: Die Kurve [mm]\gamma:\IR\to\IR^{2}[/mm] mit
> [mm]\gamma(t)=(x(t),y(t))[/mm] bildet das Intervall I=[0,1]
> surjektiv auf das Quadrat [mm]I^{2}\subset\IR^{2}[/mm] ab.
> Ich stell mir das ganze so vor, dass die Kurve jeden Punkt
> des Quadrats [mm]I^{2}[/mm] mindestens einmal trifft. Mein Problem
> ist nur, dass ich gar nicht weiß, wie ich an die Sache
> herangehen soll. Freue mich über jeden Tipp von euch.
Du kannst jede reelle Zahl $r [mm] \in [/mm] [0, 1]$ als $r = [mm] \sum_{n=1}^\infty a_i 2^{-i} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty b_i 3^{-i}$ [/mm] mit [mm] $a_i \in \{ 0, 1 \}$ [/mm] und [mm] $b_i \in \{ 0, 1, 2 \}$ [/mm] darstellen. (Das musst du evtl. noch beweisen.)
Wenn du das ausnutzt, kannst du die Aussage so beweisen: Zu einem Punkt $(x, y) [mm] \in I^2$ [/mm] findest du eine Darstellung von $x$ und $y$ von der Form $x = [mm] \sum x_i 2^{-i}$, [/mm] $y = [mm] \sum y_i 2^{-i}$, [/mm] und dann konstruierst du ein $t = [mm] \sum t_i 3^{-i}$ [/mm] so dass gerade $x(t) = x$ und $y(t) = y$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Di 16.05.2006 | | Autor: | ps4c7 |
Hi Felix.
Erstmal Danke für die Antwort. Habe noch ein paar Fragen zu deiner Ausführung.
1. Wieso ist es notwendig zu zeigen, dass jede reelle Zahl [mm] r\in[0,1] [/mm] auch eine Darstellung [mm] r=\summe_{i=1}^{\infty}b_i 3^{-i} [/mm] mit [mm] b_i\in\{0,1,2\} [/mm] hat? Reicht nicht [mm] r=\summe_{i=1}^{\infty}a_i 2^{-i}?? [/mm] Oder ist das wichtig, damit ich jedes t somit darstellen kann??
2. Wie komme ich nun auf ein geeignetes t ??
Ich hab zudem noch eine Lösung gefunden, aus der ich nicht wesentlicher schlauer werde. Sie ähnelt deiner sehr, nur versteh ich die Wahl des t's nicht wirklich:
Jeder Punkt [mm] (x_0,y_0)\in I^{2} [/mm] hat eine Darstellung mit [mm] x_{0}=\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n} a_{2n-1} [/mm] und [mm] y_{0}=\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n} a_{2n}, [/mm] wobei [mm] a_v\in\{0,1\}.
[/mm]
Für [mm] t_{0}=\summe_{n=1}^{\infty}3^{-v-1}(2a_{v}) [/mm] gilt [mm] f(3^{k}t_{0})=a_{k} [/mm] und [mm] \gamma(t_{0})=(x_{0},y_{0}).
[/mm]
Ich verstehe hier alles bis auf eines: Warum gilt für [mm] t_{0}=\summe_{n=1}^{\infty}3^{-v-1}(2a_{v}) [/mm] genau [mm] f(3^{k}t_{0})=a_{k} [/mm] ?? Wenn ich das wüsste, wäre es quasi gelöst.
Danke schonmal wieder im Voraus.
MfG Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mi 17.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Patrick!
> 1. Wieso ist es notwendig zu zeigen, dass jede reelle Zahl
> [mm]r\in[0,1][/mm] auch eine Darstellung [mm]r=\summe_{i=1}^{\infty}b_i 3^{-i}[/mm]
> mit [mm]b_i\in\{0,1,2\}[/mm] hat? Reicht nicht
> [mm]r=\summe_{i=1}^{\infty}a_i 2^{-i}??[/mm] Oder ist das wichtig,
> damit ich jedes t somit darstellen kann??
Notwendig ist es nicht. Aber es ist nicht schlecht sich das mal zu ueberlegen  Wenn du das mit der Binaerdarstellung geloest hast ist die Ternaerdarstellung ebenfalls klar, da das Prinzip das gleiche ist... Fuer die Aufgabe brauchst du allerdings tatsaechlich nur das mit der Binaerdarstellung.
> 2. Wie komme ich nun auf ein geeignetes t ??
Genauso wie du unten geschrieben hast 
> Ich hab zudem noch eine Lösung gefunden, aus der ich nicht
> wesentlicher schlauer werde. Sie ähnelt deiner sehr, nur
> versteh ich die Wahl des t's nicht wirklich:
>
> [...]
>
> Ich verstehe hier alles bis auf eines: Warum gilt für
> [mm]t_{0}=\summe_{n=1}^{\infty}3^{-v-1}(2a_{v})[/mm] genau
> [mm]f(3^{k}t_{0})=a_{k}[/mm] ?? Wenn ich das wüsste, wäre es quasi
> gelöst.
Schau dir mal genau die Definition von $f$ an. Es ist ja $f(x + t) = f(x)$ fuer alle $t [mm] \in \IZ$. [/mm] Also ist [mm] $f(3^k t_0) [/mm] = [mm] f\left(3^k \sum_{n=1}^\infty 3^{-n-1} 2 a_n\right) [/mm] = [mm] f\left(\sum_{n=1}^\infty 3^{k-n-1} 2 a_n\right) [/mm] = [mm] f\left(\sum_{n=1}^{k-1} 3^{k-n-1} 2 a_n + 3^{-1} a_k + \sum_{n=k+1}^\infty 3^{k-n-1} 2 a_n\right)$. [/mm] Jetzt schau dir die drei Summanden mal an, was kannst du ueber die aussagen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mi 17.05.2006 | | Autor: | ps4c7 |
Erstmal zwei Verständnisfragen:
1. Müsste es nicht eigentlich heißen: [mm] f\left(\sum_{n=1}^{k-1} 3^{k-n-1} 2 a_n + 3^{-1} 2 a_k + \sum_{n=k+1}^\infty 3^{k-n-1} 2 a_n\right) [/mm] ?? Also die 2 im mittlerem Summand müsste eigentlich noch dazukommen, oder?
2. Wieso gilt [mm] f\left(x+t\right)=f\left(x\right) [/mm] für alle [mm] t\in\IZ [/mm] ?? Ich weiß doch nur, dass gilt [mm] f\left(t\right)=f\left(t+2\right).
[/mm]
Sorry, aber bei den Summanden steig ich nicht durch, ich seh, dass du das ganze auseinandergezogen hast, aber wieso dann genau [mm] a_k [/mm] da herauskommt versteh ich nicht. Tut mir leid.
Ach ja, und nochmals Danke für die nette Hilfe !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mi 17.05.2006 | | Autor: | ps4c7 |
Also, ich hab mir das ganze jetzt nochmal länger überdacht. Und bin schon fast am Ziel (ich glaube sogar ich habs )
Also beim linken Summanden kann ich die 2 vor die Summe ziehen, dann sieht das der linke Summand so aus: [mm] 2\summe_{n=1}^{k-1}3^{k-n-1}a_n
[/mm]
Ich weiß somit auf jedenfall, dass der linke Summand eine gerade Zahl ist. Also sich als Summe von lauter 2en schreiben lässt. Somit kann ich ihn nach Definition von f wegfallen lassen (richtig oder?).
Für den mittleren Summanden gilt:
1. Für [mm] a_k=0 [/mm] ist er 0
2. Für [mm] a_k=1 [/mm] ist er [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Für den rechten Summanden gilt:
Er ist auf jeden Fall kleiner oder gleich [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Also folgt letztlich nach Definition von f, dass [mm] f\left(3^{k}t_0\right)=a_k [/mm] gilt.
Kann ich dann mit Fallunterscheidung von [mm] a_k [/mm] ( einmal gleich 0 und einmal gleich 1) zeigen.
So müsste es dann richtig sein oder ?
MfG Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Do 18.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Erstmal zwei Verständnisfragen:
>
> 1. Müsste es nicht eigentlich heißen:
> [mm]f\left(\sum_{n=1}^{k-1} 3^{k-n-1} 2 a_n + 3^{-1} 2 a_k + \sum_{n=k+1}^\infty 3^{k-n-1} 2 a_n\right)[/mm]
> ?? Also die 2 im mittlerem Summand müsste eigentlich noch
> dazukommen, oder?
Ja, muesste es. Die hab ich anscheinend beim tippen uebersehen...
> 2. Wieso gilt [mm]f\left(x+t\right)=f\left(x\right)[/mm] für alle
> [mm]t\in\IZ[/mm] ?? Ich weiß doch nur, dass gilt
> [mm]f\left(t\right)=f\left(t+2\right).[/mm]
Stimmt, da hast du auch recht! Das hab ich leider auch uebersehen, sorry!!!
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mi 31.05.2006 | | Autor: | ps4c7 |
Hi felix!
Mich würde nochmal eines interessieren:
Wird hier nicht sogar das Intervall [mm] [0,\bruch{1}{3}] [/mm] auf das Intervall [mm] [0,1]^{2} [/mm] abgebildet, denn es gilt ja [mm] t_0\in[0,\bruch{1}{3}] [/mm] ???
MfG Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Patrick!
> Mich würde nochmal eines interessieren:
> Wird hier nicht sogar das Intervall [mm][0,\bruch{1}{3}][/mm] auf
> das Intervall [mm][0,1]^{2}[/mm] abgebildet, denn es gilt ja
> [mm]t_0\in[0,\bruch{1}{3}][/mm] ???
Ja, das stimmt. Du kannst die Funktion auch so aendern, dass $[0, [mm] \varepsilon]$ [/mm] schon ganz $[0, [mm] 1]^2$ [/mm] ueberdeckt, wenn du [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ fest waehlst.
LG Felix
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