Raumkurve aus 3 Punkten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie die Parameterdarstellung einer Kurve an, die die Punkte A(0,0,0), B(1,0,0) und C(0,1,1) verbindet, aber nicht aus Geradenstücken zusammengesetzt ist. |
Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?
hört sich eigentlich einfach an, von der Vorstellung her wohl eine Raumkurve, die so spiralenförmig nach oben gehen muss.
ich hab aber keine ahnung wie man die raumkurve w(t) = (x(t),y(t),z(t)) hier aufstellen kann.
Bitte um Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mo 22.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Geben Sie die Parameterdarstellung einer Kurve an, die die
> Punkte A(0,0,0), B(1,0,0) und C(0,1,1) verbindet, aber
> nicht aus Geradenstücken zusammengesetzt ist.
> Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?
> hört sich eigentlich einfach an, von der Vorstellung her
> wohl eine Raumkurve, die so spiralenförmig nach oben gehen
> muss.
> ich hab aber keine ahnung wie man die raumkurve w(t) =
> (x(t),y(t),z(t)) hier aufstellen kann.
Du suchst irgendwelche "glatten" Funktionen $x y, z$ mit
$x(0) = 0$, $x(1) = 1$, $x(2) = 0$,
$y(0) = 0$, $y(1) = 0$, $y(2) = 1$,
$z(0) = 0$, $z(1) = 0$, $z(2) = 1$.
Probier doch mal Polynome zweiten Grades.
LG Felix
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Ahh, ok...das wäre dann aufgestellt:
[mm] w(t)=\bruch{1}{2}\vektor{-2t^{2}+4t \\ t^{2}-t \\t^{2}-t}
[/mm]
Sollte ich jetzt noch hinschreiben in welche Werte t annehmen soll : 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 , so?
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Hallo shikari,
> Ahh, ok...das wäre dann aufgestellt:
>
> [mm]w(t)=\bruch{1}{2}\vektor{-2t^{2}+4t \\ t^{2}-t \\t^{2}-t}[/mm]
>
> Sollte ich jetzt noch hinschreiben in welche Werte t
> annehmen soll : 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 2 , so? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das sieht doch gut aus, alle 3 Punkte liegen offensichtlich auf der Spur dieser Kurve.
Ist die Kurve denn glatt auf $[0,2]$ ?
LG
schachuzipus
>
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hm, bei t=1 wird die Ableitung von x(t) zu 0 und bei [mm] t=\bruch{1}{2} [/mm] die anderen beiden = 0.
Das heißt wohl das dort Kanten in der Kurve sind, oder?
Ist das für die Lösung der Aufgabe wichtig ob die Kurve glatt ist?
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Hallo nochmal,
> hm, bei t=1 wird die Ableitung von x(t) zu 0 und bei
> [mm]t=\bruch{1}{2}[/mm] die anderen beiden = 0.
> Das heißt wohl das dort Kanten in der Kurve sind, oder?
Hmm, die Kurve wäre ja nur dort nicht glatt, wo die ableitung aller drei Komponetenfunktionen glz. =0 werden.
Das ist nicht der Fall, also ist die Kurve glatt (auf $[0,2]$).
> Ist das für die Lösung der Aufgabe wichtig ob die Kurve
> glatt ist?
Nein, ist es nicht.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mo 22.02.2010 | | Autor: | shikari66 |
achso, nur wenn alle null werden ist das der Fall.
Vielen Dank für deine Hilfe!
LG
shikari
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mo 22.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hmm, die Kurve wäre ja nur dort nicht glatt, wo die
> ableitung aller drei Komponetenfunktionen glz. =0 werden.
Nein, Unfug Alarm! Glatt heißt, dass die Funktion unedlich oft diffbar ist - das wäre auch eine konstante Funktion. Wenn die Ableitung ungleich 0 ist, ist sie regulär.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mo 22.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich hab aber keine ahnung wie man die raumkurve w(t) =
> (x(t),y(t),z(t)) hier aufstellen kann.
Andere Lösung: [m]1/2*(1,1,1)[/m] hat konstnaten Abstand zu allen Punkten, damit ist derKreis [m]1/2*(1,1,1)-\cos(t)/2*(1,1,1)+\sin(t)/2(-1,1,1)[/m] auch ne Möglichkeit.
SEcki
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