Raumkurvenbogen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Länge des Raumkurvenbogens
x=3t+3
y=4t+1
[mm] z=\bruch{1}{2}t^{2}
[/mm]
mit [mm] t\in [/mm] (0;4) |
Ich sende die besten Grüße in den matheraum, ich habe die einzelnen Ableitungen [mm] \bruch{dx}{dt}=3, \bruch{dy}{dt}=4 [/mm] und [mm] \bruch{dz}{dt}=t, [/mm] ich weiß die Grenzen vom Integral mit 0 und 4, wie berechne ich jetzt mein Integral, wenn dort 3, 4, t steht? Wie kann ich mir einen Raumkurvenbogen bildlich vorstellen, Danke für Eure Hinweise Klaus
|
|
| |
|
Hallo Klaus,
> Bestimmen Sie die Länge des Raumkurvenbogens
> x=3t+3
> y=4t+1
> [mm]z=\bruch{1}{2}t^{2}[/mm]
> mit [mm]t\in[/mm] (0;4)
> Ich sende die besten Grüße in den matheraum, ich habe die
> einzelnen Ableitungen [mm]\bruch{dx}{dt}=3, \bruch{dy}{dt}=4[/mm]
> und [mm]\bruch{dz}{dt}=t,[/mm] ich weiß die Grenzen vom Integral mit
> 0 und 4, wie berechne ich jetzt mein Integral, wenn dort 3,
> 4, t steht? Wie kann ich mir einen Raumkurvenbogen bildlich
> vorstellen, Danke für Eure Hinweise Klaus
Ok, die Ableitungen stimmen soweit.
Du hast nun das Integral [mm] $\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{25+t^2} \ dt}$ [/mm] zu lösen
Klammere zuerst mal unter der Wurzel 25 aus und ziehe es raus:
[mm] $=5\cdot{}\int\limits_{0}^4{\sqrt{1+\frac{t^2}{25}} \ dt}=5\cdot{}\int\limits_{0}^4{\sqrt{1+\left(\frac{t}{5}\right)^2} \ dt}$
[/mm]
Nun substituiere mal [mm] $u:=\frac{t}{5}$
[/mm]
Dann denke mal am die hyperbolischen Funktionen, insbesondere an den Zusammenhang [mm] $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$
[/mm]
Dann fällt dir garantiert die entscheidende letzte Substitution ein ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke für deine Hinweise habe die Substitution gemacht erhalte
[mm] 25\integral_{0}^{4}{\wurzel{1+u^{2}} du}
[/mm]
ich weiß [mm] sinh(x)=0,5(e^{x}-e^{-x}) [/mm] und [mm] cosh(x)=0,5(e^{x}+e^{-x}) [/mm] den von dir genannten Zusammenhang kenne ich auch, kann mir aber nicht denken, wo du mich hinführen möchtest, kannst du mir noch einen Rat geben? Klaus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Danke für deine Hinweise habe die Substitution gemacht
> erhalte
>
> [mm]25\integral_{0}^{4}{\wurzel{1+u^{2}} du}[/mm]
Das Integral stimmt, aber lass mal lieber die Grenzen weg und rechne alles ohne, am Ende resubstituieren und die alten Grenzen verwenden.
Alternativ die Grenzen immer mitsubstituieren ...
>
> ich weiß [mm]sinh(x)=0,5(e^{x}-e^{-x})[/mm] und
> [mm]cosh(x)=0,5(e^{x}+e^{-x})[/mm] den von dir genannten
> Zusammenhang kenne ich auch, kann mir aber nicht denken, wo
> du mich hinführen möchtest, kannst du mir noch einen Rat
> geben? Klaus
Substituiere [mm] $u:=\sinh(z)$ [/mm] ...
Danach entweder die Definition mit der e-Funktion benutzen oder partiell integrieren
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Grüß dich, na klar mit den Grenzen war mein Fehler ich muß ja erst Rücksubstitution machen und dann wieder einsetzen
[mm] 25\integral_{}^{}{\wurzel{1+u^{2}} du} [/mm]
mit u=sinh(z) dann [mm] \bruch{du}{dz}=cosh(z) [/mm] dann du=cosh(z)*dz
[mm] 25\integral_{}^{}{\wurzel{1+sinh^{2}(z)} cosh(z)dz}
[/mm]
[mm] 25\integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}
[/mm]
[mm] \bruch{25}{4}\integral_{}^{}{(e^{z}+e^{-z})^{2} dz}
[/mm]
so, meine Zwischenfrage an euch, liege ich bis hier richtig? ich will dann die Binomische Formel benutzen und Summandenweise integrieren, dann alles rücksubstituieren und am Ende Grenzen einsetzen, (hoffe auf euer "ja") Danke Klaus
|
|
|
| |
|
Hallo Klaus,
> Grüß dich, na klar mit den Grenzen war mein Fehler ich muß
> ja erst Rücksubstitution machen und dann wieder einsetzen
>
> [mm]25\integral_{}^{}{\wurzel{1+u^{2}} du}[/mm]
>
> mit u=sinh(z) dann [mm]\bruch{du}{dz}=cosh(z)[/mm] dann
> du=cosh(z)*dz
>
> [mm]25\integral_{}^{}{\wurzel{1+sinh^{2}(z)} cosh(z)dz}[/mm]
>
> [mm]25\integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}[/mm]
>
> [mm]\bruch{25}{4}\integral_{}^{}{(e^{z}+e^{-z})^{2} dz}[/mm]
>
> so, meine Zwischenfrage an euch, liege ich bis hier
> richtig? ich will dann die Binomische Formel benutzen und
> Summandenweise integrieren, dann alles rücksubstituieren
> und am Ende Grenzen einsetzen, (hoffe auf euer "ja")
Dann will ich dich nicht enttäuschen: JA!
> Danke
> Klaus
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke für deine Geduld
[mm] \bruch{25}{4}\integral_{}^{}{e^{2z}+2+e^{-2z} dz}
[/mm]
[mm] \bruch{25}{4}*(\bruch{1}{2}e^{2z}+2z-\bruch{1}{2}e^{-2z})
[/mm]
jetzt hatte ich ja [mm] u=\bruch{t}{5} [/mm] und u=sinh(z) daraus wird [mm] \bruch{t}{5}=sinh(z) [/mm] und somit [mm] z=arcsinh(\bruch{t}{5}) [/mm] somit [mm] z=ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})
[/mm]
[mm] \bruch{25}{8}(e^{2z}+4z-e^{-2z})
[/mm]
[mm] \bruch{25}{8}(e^{2ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})}+4ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})-e^{-2ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})})
[/mm]
[mm] \bruch{25}{8}[(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})^{2}+4ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})-(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})^{-2}]
[/mm]
oh je
jetzt die Grenzen einsetzen, wieder meine Frage war ich erfolgreich bis hier, diesmal bin ich mir nicht sicher?? Klaus
|
|
|
| |
|
Hallo Klaus,
> Danke für deine Geduld
>
> [mm]\bruch{25}{4}\integral_{}^{}{e^{2z}+2+e^{-2z} dz}[/mm]
>
> [mm]\bruch{25}{4}*(\bruch{1}{2}e^{2z}+2z-\bruch{1}{2}e^{-2z})[/mm]
>
> jetzt hatte ich ja [mm]u=\bruch{t}{5}[/mm] und u=sinh(z) daraus wird
> [mm]\bruch{t}{5}=sinh(z)[/mm] und somit [mm]z=arcsinh(\bruch{t}{5})[/mm]
> somit [mm]z=ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})[/mm]
>
> [mm]\bruch{25}{8}(e^{2z}+4z-e^{-2z})[/mm]
>
> [mm]\bruch{25}{8}(e^{2ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})}+4ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})-e^{-2ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})})[/mm]
>
> [mm]\bruch{25}{8}[(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})^{2}+4ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})-(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})^{-2}][/mm]
Das sieht gut aus !
>
> oh je 
>
> jetzt die Grenzen einsetzen, wieder meine Frage war ich
> erfolgreich bis hier, diesmal bin ich mir nicht sicher??
> Klaus
Das passt schon, ich hätte wahrscheinlich nicht die Def. mit der e-Funktion verwendet, sondern hätte das letzte Integral [mm] $\int{\cosh^2(z) \ dz}$ [/mm] partiell verarztet, das ist [mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}\left(\sinh(z)\cosh(z)+z\right)$
[/mm]
Das kann man vermutlich etwas einfacher resubstituieren ...
Aber dein Weg geht natürlich auch ...
Gruß und viel Spaß beim Weiterrechnen ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo und riesen Dank schachuzipus, ich denke mal den letzeten Teil macht jeder Taschenrechner, bevor ich mich vertippe, kommt dieser Schritt morgen dran, ich gehe dann auch mal über die partielle Integration, eigentlich ist die Aufgabe ja mit Konzentration "ganz einfach", eine Ansammlung von bekannten mathematischen Gesetzmäßigkeiten, aber: wie bist du auf die beiden Substitutionen gekommen? Ich würde ja sonst noch in Wochen knobeln. Klaus
|
|
|
| |
|
Hallo Klaus,
> Hallo und riesen Dank schachuzipus, ich denke mal den
> letzeten Teil macht jeder Taschenrechner, bevor ich mich
> vertippe, kommt dieser Schritt morgen dran, ich gehe dann
> auch mal über die partielle Integration, eigentlich ist die
> Aufgabe ja mit Konzentration "ganz einfach", eine
> Ansammlung von bekannten mathematischen Gesetzmäßigkeiten,
> aber: wie bist du auf die beiden Substitutionen gekommen?
Naja, wenn man das ein paar Male sieht und einige Male selber rechnet, kommt man schon darauf.
Aber so aus dem Stegreif und ohne das schon gesehen zu haben, kommt da kein normaler Mensch drauf
Die Beziehungen der trigonometrischen und der hyperbolischen Funktionen zu kennen, hilft da auch weiter, also [mm] $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$ [/mm] und [mm] $\frac{d}{dz}\sinh(z)=\cosh(z)$ [/mm] und umgekehrt ..
> Ich würde ja sonst noch in Wochen knobeln. Klaus
LG und schönen Restabend
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Guten Morgen in den matheraum, ich bin nach meiner gestrigen Rechnung wieder fit, habe jetzt die Grenzen 4 und 0 eingesetzt, stimmt meine Bogenlänge mit 21,96...?
Ich habe auch den Vorschlag der partiellen Integration verfolgt
[mm] \integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}=\bruch{1}{2}(sinh(z)*cosh(z)+z) [/mm] ist klar, jetzt kommt ja die Rücksubstitution mit
[mm] z=ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})
[/mm]
also setze ich jetzt z ein, auch klar, aber wie berechne ich jetzt die Länge vom Bogen, mein Problem ist sinh(...) auf meinen Taschenrechner, ich habe einen Casio fx991 WA, der kann kein sinh(...), da bleibt doch für mich eigentlich nur der Weg über die e-Funktion von gestern? Klaus
|
|
|
| |
|
Hallo Klaus,
> Guten Morgen in den matheraum, ich bin nach meiner
> gestrigen Rechnung wieder fit, habe jetzt die Grenzen 4 und
> 0 eingesetzt, stimmt meine Bogenlänge mit 21,96...? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Ich habe auch den Vorschlag der partiellen Integration
> verfolgt
>
> [mm]\integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}=\bruch{1}{2}(sinh(z)*cosh(z)+z)[/mm]
> ist klar, jetzt kommt ja die Rücksubstitution mit
>
> [mm]z=ln(\bruch{t}{5}+\wurzel{\bruch{t^{2}}{25}+1})[/mm]
>
> also setze ich jetzt z ein, auch klar, aber wie berechne
> ich jetzt die Länge vom Bogen, mein Problem ist sinh(...)
> auf meinen Taschenrechner, ich habe einen Casio fx991 WA,
> der kann kein sinh(...), da bleibt doch für mich eigentlich
> nur der Weg über die e-Funktion von gestern? Klaus
Wir hatten doch [mm] $25\int{\cosh^2(z) \ dz}=\frac{25}{2}\cdot{}\left[\sinh(z)\cosh(z)+z\right]=\frac{25}{2}\cdot{}\left[\sinh(z)\sqrt{1+\sinh^2(z)}+z\right]$
[/mm]
Da nun [mm] $z=arsinh\left(\frac{t}{5}\right)$ [/mm] einsetzen ...
Gibt: [mm] $\frac{25}{2}\cdot{}\left[\frac{t}{5}\sqrt{1+\frac{t^2}{25}}+arsinh\left(\frac{t}{5}\right)\right]=\frac{t\sqrt{25+t^2}}{2}+\frac{25}{2}arsinh\left(\frac{t}{5}\right)$
[/mm]
Schreibe das $arsinh$-Biest mit dem [mm] $\ln$ [/mm] und dein TR sollte es berechnen können ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Mi 13.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Länge des Raumkurvenbogens
> x=3t+3
> y=4t+1
> [mm]z=\bruch{1}{2}t^{2}[/mm]
> mit [mm]t\in[/mm] (0;4)
> Ich sende die besten Grüße in den matheraum, ich habe die
> einzelnen Ableitungen [mm]\bruch{dx}{dt}=3, \bruch{dy}{dt}=4[/mm]
> und [mm]\bruch{dz}{dt}=t,[/mm] ich weiß die Grenzen vom Integral mit
> 0 und 4, wie berechne ich jetzt mein Integral, wenn dort 3,
> 4, t steht? Wie kann ich mir einen Raumkurvenbogen bildlich
> vorstellen, Danke für Eure Hinweise Klaus
Hallo,
mich freut die letzte Frage. Vor dem stupiden Rechnen sollte man sich diese tatsächlich stellen.
Also: Lassen wir mal die z-Koordinate weg, dann erhalten wir die Projektion des Raumpunktes in die x-y-Ebene. Die Bewegung dieses projizierten Punktes sollte klar sein: vom Punkt (3|1) (mit t=0) geradlinig zum Punkt (15|17) (mit t=4).
Während dieser scheinbar geradlinigen Bewegung gewinnt der Punkt gleichzeitig zunehmend an Höhe (Berücksichtiugung der z-Koordinate).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Danke abakus, ich beginne somit bei t=0 bis t=4, jetzt kann ich mir auch vorstellen, was ich gerechnet habe, Klaus
|
|
|
|
