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Raute: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Di 04.10.2011
Autor: Oesi

Aufgabe
Unter allen Rauten von gegebenem Flächeninhalt ist jene von kleinstem Umfang zu ermitteln.

Wenn ich die maximale Fläche bei gegebenem Umfang finden soll, finde ich eine Lösung. Aber wie gehe ich hier vor?

Zielfunktion U=4a

Welche Flächenformel kann ich als Nebenbedigung nehmen?

        
Bezug
Raute: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Di 04.10.2011
Autor: reverend

Hallo Oesi,

> Unter allen Rauten von gegebenem Flächeninhalt ist jene
> von kleinstem Umfang zu ermitteln.
>  Wenn ich die maximale Fläche bei gegebenem Umfang finden
> soll, finde ich eine Lösung. Aber wie gehe ich hier vor?
>  
> Zielfunktion U=4a

Nein, das ist doch nur der Umfang.

> Welche Flächenformel kann ich als Nebenbedigung nehmen?

Da hast Du drei grundlegende Möglichkeiten, entweder eine der Diagonalen mit in die Berechnung aufzunehmen (mindestens [mm] \wurzel{2}a, [/mm] maximal 2a), oder die Höhe (mindestens 0, höchstens a), oder den spitzen Winkel der Raute (entartet mindestens 0°, höchstens 90°).

Ich würde die Höhe nehmen, das ist am einfachsten.

Die Lösung ist natürlich ein Quadrat, aber gerade das sollst Du herleiten.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Raute: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Di 04.10.2011
Autor: Oesi

Ich steh auf dem Schlauch.

$U=4*a$ und $A=a*h$ aus letzterem bekomme ich $a=A/h$ das in die erste Formel eingesetzt liefert $U= 4A/h$ abgeleitet bekomme ich [mm] $U'(h)=-4A*h^{-2}$ [/mm]
wenn ich davon die Nullstelle berechnen will, bekomme ich h=0 und das macht doch keinen Sinn?

> Hallo Oesi,
>  
> > Unter allen Rauten von gegebenem Flächeninhalt ist jene
> > von kleinstem Umfang zu ermitteln.
>  >  Wenn ich die maximale Fläche bei gegebenem Umfang
> finden
> > soll, finde ich eine Lösung. Aber wie gehe ich hier vor?
>  >  
> > Zielfunktion U=4a
>
> Nein, das ist doch nur der Umfang.
>  
> > Welche Flächenformel kann ich als Nebenbedigung nehmen?
>
> Da hast Du drei grundlegende Möglichkeiten, entweder eine
> der Diagonalen mit in die Berechnung aufzunehmen
> (mindestens [mm]\wurzel{2}a,[/mm] maximal 2a), oder die Höhe
> (mindestens 0, höchstens a), oder den spitzen Winkel der
> Raute (entartet mindestens 0°, höchstens 90°).
>  
> Ich würde die Höhe nehmen, das ist am einfachsten.
>  
> Die Lösung ist natürlich ein Quadrat, aber gerade das
> sollst Du herleiten.
>  
> Grüße
>  reverend
>  


Bezug
                        
Bezug
Raute: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Di 04.10.2011
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Ich steh auf dem Schlauch.
>  
> [mm]U=4*a[/mm] und [mm]A=a*h[/mm] aus letzterem bekomme ich [mm]a=A/h[/mm] das in die
> erste Formel eingesetzt liefert [mm]U= 4A/h[/mm] abgeleitet bekomme
> ich [mm]U'(h)=-4A*h^{-2}[/mm]
>   wenn ich davon die Nullstelle berechnen will, bekomme ich
> h=0

Na, denk noch mal nach, ob das überhaupt eine Nullstelle hat...

> und das macht doch keinen Sinn?

Du wolltest doch die maximale Fläche ermitteln.
Dazu brauchst Du dann eine Funktion A(h)=...

Die hat allerdings kein Maximum, aber dafür hat h ja einen Definitionsbereich.

Grüße
reverend



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Bezug
Raute: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Di 04.10.2011
Autor: Oesi

Die Fläche ist doch gegeben. Ich soll den kleinsten Umfang zu dieser gegebenen Fläche berechnen. Zu einem gegebenen Umfang die maximale Fläche zu berechnen habe ich bereits geschafft.

Bezug
                                        
Bezug
Raute: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Di 04.10.2011
Autor: reverend

Hallo,

> Die Fläche ist doch gegeben. Ich soll den kleinsten Umfang
> zu dieser gegebenen Fläche berechnen. Zu einem gegebenen
> Umfang die maximale Fläche zu berechnen habe ich bereits
> geschafft.

Aber das ist doch die gleiche Aufgabe!

Wenn Du es also unbedingt nochmal andersherum zeigen sollst, nimm die Winkelvariante: [mm] h=a*|\sin{\phi}|, [/mm] also [mm] A=a^2*|\sin{\phi}| [/mm] und U=4a, also [mm] U(\phi)=4\wurzel{\bruch{A}{|\sin{\phi}|}} [/mm]

Grüße
reverend


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Raute: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:03 Mi 05.10.2011
Autor: Oesi

Danke!

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