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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 So 14.08.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Mittels eines iterativen Verfahrens versucht man Eigenwerte zu finden. Dabei wird in der Regel der Betragsmässig grösste Eigenwert gefunden, da dieser die Abbildung am meisten "verzerrt".
Das Verfahren funktioniert so, dass man einen (fast) beliebigen Startvektor [mm] x_{0} [/mm] nimmt, und wie folgt vorgeht:
[mm] x_{k+1} [/mm] = [mm] A*x_{k}
[/mm]
[mm] x_{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{k+1}}{||x_{k+1}||}
[/mm]
[mm] \lambda_{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{}
[/mm]
,denn falls [mm] x_{k} [/mm] sich dem Eigenveltor nähert, gitl A*x = [mm] \lambda*x.
[/mm]
1.Nun is die Frage, wie man den Betragsmässig kleinsten Eigenwert finden kann. Ich sage dazu, dass man die iteration für [mm] A^{-1} [/mm] machen kann. Oder noch eleganter wäre inverse Vektoriteration.
2.Wie findet man den Eigenwert, der am nächsten bei 1/3 liegt?
Hier fällt mit nichts ein. In der Lösung steht nur "inverse Vektoriteration mittels Verschiebung". Ich weiss aber nicht wie das umzusetzen wäre. Kann mir hier jemand helfen?
Danke.
Grüsse
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:10 So 14.08.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Perfekt, danke!
Doch da is mir noch was selbst eingefallen, wollte fragen was ihr von der Idee haltet. Um den Betragsmässig kleinsten Eigenwert zu erhalten geh ich einfach rückwärts, sodass der Rayleigh Koeffizient so aussen würde:
R = [mm] \bruch{}{}, [/mm] weil wenn [mm] x_{k} [/mm] sich dem Eigenvektor nähert gibt das ja quasi [mm] \bruch{1}{\lambda}. [/mm] Man müsste bei einem grossen k beginnen und dann das k immer weiter verkleinern. Macht das Sinn? Ich bin eben nicht sicher ob ich dann den Betragsmässig kleinsten Eigenwert oder doch nur einfach den Kehrwert des grössten Eigenwerts finden werde?
Danke.
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 16.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Inverse Vektoriteration mit Verschiebung