Re u. Im einer kompl. Funktion < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 So 13.04.2014 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe 1 | Gegeben ist die Funktion [mm] $F(\omega) [/mm] = [mm] \bruch{(i \omega c)^\alpha}{1+(i \omega c)^{\alpha-\beta}}$
[/mm]
mit [mm] $\omega, \alpha, \beta, [/mm] c [mm] \in \IR^+$, $\alpha [/mm] > [mm] \beta$ [/mm] und [mm] $\alpha [/mm] <1 $
Zeige, dass [mm] $Im(F(\omega)) [/mm] = [mm] \bruch{(\omega c)^\alpha sin(\pi \alpha /2)+ (\omega c)^{2 \alpha - \beta}sin(\pi \beta /2) }{1+(\omega c)^{2 (\alpha - \beta)}+2(\omega c)^{\alpha - \beta}cos(\pi/2(\alpha-\beta))}$ [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Berechne [mm] $Re(F(\omega))$ [/mm] |
Konjugiert komplexes Erweitern mit dem Nenner als Umformung wie im einfachen Fall [mm] $F(\omega) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+i\omega}$ [/mm] bringt mich hier nicht weiter.
Wolfram alpha gibt mir für [mm] $F(\omega) [/mm] =(i [mm] \omega)^\alpha$ [/mm] das Ergebnis [mm] $Im(F(\omega)) [/mm] = [mm] (\omega)^\alpha sin(\alpha [/mm] *arg(i [mm] \omega))$. [/mm] Das ist schonmal ein Ansatz. Aber wie kommt man darauf,warum ist $arg(i [mm] \omega) [/mm] = [mm] \pi [/mm] /2$ und wie muss [mm] F(\omega) [/mm] umgeformt werden?
Besten Dank im Voraus für eure Antworten!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 So 13.04.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben ist die Funktion [mm]F(\omega) = \bruch{(i \omega c)^\alpha}{1+(i \omega c)^{\alpha-\beta}}[/mm]
>
> mit [mm]\omega, \alpha, \beta, c \in \IR^+[/mm], [mm]\alpha > \beta[/mm] und
> [mm]\alpha <1[/mm]
>
> Zeige, dass [mm]Im(F(\omega)) = \bruch{(\omega c)^\alpha sin(\pi \alpha /2)+ (\omega c)^{2 \alpha - \beta}sin(\pi \beta /2) }{1+(\omega c)^{2 (\alpha - \beta)}+2(\omega c)^{\alpha - \beta}cos(\pi/2(\alpha-\beta))}[/mm]
>
> Berechne [mm]Re(F(\omega))[/mm]
> Konjugiert komplexes Erweitern mit dem Nenner als
> Umformung wie im einfachen Fall [mm]F(\omega) = \bruch{1}{1+i\omega}[/mm]
> bringt mich hier nicht weiter.
> Wolfram alpha gibt mir für [mm]F(\omega) =(i \omega)^\alpha[/mm]
> das Ergebnis [mm]Im(F(\omega)) = (\omega)^\alpha sin(\alpha *arg(i \omega))[/mm].
> Das ist schonmal ein Ansatz. Aber wie kommt man
> darauf,warum ist [mm]arg(i \omega) = \pi /2[/mm] und wie muss
> [mm]F(\omega)[/mm] umgeformt werden?
[mm] $\omega$ [/mm] ist reell und positiv, daher liegt [mm] $i\omega$ [/mm] auf der imaginären Achse und [mm]arg(i \omega) = \pi /2[/mm].
[mm] (i \omega)^\alpha = \exp (\alpha \ln (i\omega) ) = \exp (\alpha (\ln \omega + i\pi/2))
= \omega^\alpha \exp(i\alpha\pi/2) = \omega^\alpha( \cos(\alpha\pi/2) + i \sin(\alpha\pi/2)) [/mm]
Der Rest geht über Erweitern des Nennern mit dem konjugiert komplexen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
